№ 3 практикалық тапсырма

Тақырып: Ақпаратты жіберу жылдамдығын есептеу және байланыс каналдарын өткізу қабілеттілігі.

Мақсаты: Шеннон теоремаларымен таныстыру және ақпараттың қайнар энтропиясы мен байланыс каналдарын өткізу қабілеттілігін анықтауға үйрету.

ТЕОРИЯЛЫҚ МӘЛІМЕТТЕР

Байланыс каналдарын өткізу қабілеттілігі – ақпаратты жіберу жылдамдығының ең үлкен теориялық жетістігінің шарты кезінде қателігі берілген мөлшерде басым болмайды.

Ақпаратты жіберу жылдамдығы – ақпараттың орта санына жіберілетін уақыттың бірлігін айтады. Дискретті байланыс каналдарын өткізу қабілеттілігін және ақпаратты жіберу жылдамдығын есептеуге арналған өрнектерді анықтаймыз.

Әрбір символды жіберген кезінде төмендегідей формуламен анықталатын ортада байланыс каналымен ақпарат саны жүреді

I (Y, X) = I (X, Y) = H(X) – H (X/Y) = H(Y) – H (Y/X),

мұндағы: I (Y, X) – өзара ақпарат, о.д. Y-ке салыстырмалы X-ті ұстанатын ақпарат саны; H(X) – хабарламаның қайнар энтропиясы; H (X/Y) – бөгеттердің және бұрмалаулардың бар болуына байланысты бір символдағы жоғалған ақпаратты анықтайтын шартты энтропия.

n элементарлық символынан тұратын T ұзақтықтың XT хабарламасын жіберген кезіндегі жіберілген ақпараттардың орта саны өзара ақпарат санының симметрилы есепке алуымен бірдей:

I(YT, XT) = H(XT) – H(XT/YT) = H(YT) – H(YT/XT) = n [H(X) – H (X/Y),

мұндағы T = n ; – бір символды жіберудегі орта уақыты; n‑ Т ұзақтығы бойынша хабарламадағы символдар саны.

Бірдей ұзақтық символдарына арналған = t, теңықтималдықсыз символдардың бірдей емес ұзақтық оқиғасында

.

Ақпаратты жіберу жылдамдығы мынадай

[бит/с].

Ақпаратты жіберу жылдамдығы кодтау әдісіне және канал қасиеттеріне, қайнар статистикалық қасиеттеріне тәуелді болады.

Дискретті байланыс каналдарын өткізу қабілеттілігі

.

Максималды-мүмкін мағына, о.д. функционалдың максимумы p(x) үлестірілген ықтималдылық функциялардың барлық жиындарында ізделінеді.

Өткізу қабілеттілігі каналдың техникалық мінездемелерінен тәуелді болады (аппаратураның тез әрекет етуінен, модуляция түрінің, бөгеттердің және бұрмалауларыдың деңгейінен және т.б.). Каналдың өткізу қабілеттілігінің бірлік өлшемі мыналар болып табылады: [bit/s], [Kbit/s], [Mbit/s], [Gbit/s].

Каналға арналған Шеннонның бірінші теоремасы: Егер ақпараттар потогы қайнармен дағдыланатын байланыс каналдарын өткізу қабілеттілігіне таяу жеткілікті болса, онда

, мұндағы - сонша үйлесімді аз мөлшер,

онда барлық хабарламаларды жіберу қайнарымен қамтамасыз ететін кодтаудың қажетті сондай тәсілін әрқашан тауып алуға болады, еске сала кетсек ақпаратты жіберу жылдамдығы каналдың өткізу қабілеттілігіне өте жақын болады.

1 мысал: Қайнар 3 хабарламаны ықтималдықтар арқылы істеп шығарады:

p1 = 0,1; p2 = 0,2 и p3 = 0,7.

Хабарламалар тәуелсіз және символдардың ұзақтығы 1 мс-ке тең болатын біркелкі екілік кодпен (m =2) беріледі. Бөгеттерсіз байланыс каналымен ақпараттарды жіберу жылдамдығын анықтау.

Шешімі: Қайнар энтропиясы мынаған тең

[бит/с].

3 хабарламаны біркелкі кодпен жіберу үшін екі разряд қажет, ол үшін кодтық комбинацияның ұзақтылығы 2 t-ге тең болуы керек.

Сигналды жіберудің орташа жылдамдығы

V =1/2 t = 500 [1/c].

Ақпаратты жіберу жылдамдығы

C = vH = 500×1,16 = 580 [бит/с].

Дискреттік каналдың өткізу қабілеттілігі бөгеттердің барысы кезінде хабарламалардың жіберілуі барынша көп мүмкін жылдамдықтарымен бірдей және де p(x) ықтималдықтарының таратуларына X –ке барынша толық ізделінеді, сондықтан біркелкі таратуы үшін энтропиясы барынша көп болса (хабарлама тең ықтималдылық символдарына арналған), онда өткізу қабілеттілігі үшін өрнек мына түрінде болады:

.

Формуладан көріп тұрғанымыздай, байланыс каналдарын өткізу қабілеттілігі бөгеттердің бар болуын кемітеді.

# 2 мысал: Байланыс каналы бойынша сәйкесінше бірдей тең болатын ықтималды хабарламалар беріледі:

p(x1)=0,1; p(x2)=0,2; p(x3)=0,3; p(x4)=0,4.

Байланыс каналында ақпараттың жоғалтуын анықтайтын каналдық матрицаның түрі мынандай:

.

Анықтау:

1. Ақпараттың қайнар энтропиясы – H(X).

2. Қабылдағыш ақпараттың сөзсіз энтропиясы - H(Y).

3. Жалпы шартты энтропиясы – H (Y/X).

4. Егер алғашқы әліпбидің бір символын жіберу уақыты t = 0,1 мс болса, онда а қпаратты жіберу жылдамдығы

5. Әліпбидегі 500 символды жіберген кезінде байланыс каналында ақпаратты жоғалтуын анықтау.

6. Қабылданған ақпараттың орта саны.

7. Байланыс каналдарын өткізу қабілеттілігі.

Шешімі:

1. Хабарламаның қайнар энтропиясы мынаған тең

2. Қабылдағыш кіруінде символдардың көріну ықтималдылығы

Тексеру:

Ақпараттың қабылдағыш энтропиясы мынаған тең

3. Жалпы шартты энтропиясы мынаған тең

4. Қабылдағыш ақпараттың жылдамдығы мынаған тең

=(1,85–0,132)/0,0001=17,18 Кбит/с.

5. Әліпбидегі 500 символды жіберген кезінде байланыс каналында ақпаратты жоғалтуы мынаған тең

500×0,132=66 бит.

6. Қабылданған ақпараттың орта саны мынаған тең:

=500×(1,85–0,132)=859 бит.

7. Байланыс каналдарын өткізу қабілеттілігі

(2–0,132)/0,0001=18,68 Кбит/с.

Дискреттік каналға арналған кодтау туралы бөгеттермен Шеннонның негізгі теоремасы: Егер қайнар өнімділігі өткізу қабілеттілігінен төмен болса, онда хабарламаның қатесіз жіберілуін жүзеге асыруға рұқсат ететін дискреттік каналдың артынан бөгеттермен кодтаудың сондай қажетті тәсілі бар болады.

## 3 мысал: Егер каналда шуылдар қателерді енгізсе, не болмаса 100-ң ішінен орташа 4 символ сенімсіз қабылданса, онда симметриялы байланыс каналының екілік арқылы жіберуге арналған жылдамдығын анықтау (о.д. «1» орнына «0» және керісінше).

Шешуі:

Ықтималдық кестесін құрастырамыз:

p(x0) = 0,5; p(y0/ x0) = 0,96;

p(x1) = 0,5; p(y1/ x0) = 0,04;

p(y0) = 0,5; p(y0/ x1) = 0,04;

p(y1) = 0,5; p(y1/ x1) = 0,96.

Симметриялық каналдың екілігіне арналған өткізу қабілеттілігі

##

## Есептер:

1. Әліпби ішінен x1, x2 ж әне x3 ықтималдылығы p(x1)=0,2; p(x2)=0,3 и p(x3)=0,5 бойынша құрастырылған байланыс каналына хабарламалар жіберіледі.

Каналдық матриацаның түрі төмендегідей:

осыдан .

Есептеу:

1. Ақпараттың қайнар энтропиясы H(X) және қабылдағышы H(Y).

2. Жалпы және шартты энтропиясы H (Y/X).

3. к символға (к = 100) жіберуге арналған каналдағы ақпараттың жоғалуы.

4. к символ ға жіберуге арналған қабылданған ақпараттар саны.

5. Егер бір символдың жіберу уақыты t = 0,01 мс болса, онда ақпараттың жіберу жылдамдығы.

1. Байланыс каналы бойынша ықтималдығы арқылы әліпбидің x1, x2, x3 және x4 символдары жіберіледі. Егер бөгеттердің ықпалын жасауы каналдық матрицамен жазылса, онда 300 символды жіберу кезінде қабылданған ақпараттар санын анықтау:

.

2. Егер каналдық матрицаның түрі төмендегідей болса, онда әліпбидегі теңықтималдылық символдарды жіберуге арналған байланыс каналының ақпарат жоғалтуын анықтау.

.

Егер бір символдың жіберу уақыты t = 0,001 сек. болса, онда ақпараттың жіберу жылдамдығын анықтау.

4. Егер каналдағы бөгеттердің ықпалы каналдық матрицада жазылса, онда p=0,2; p=0,1 және p()=0,7 ықтималдылығы бойынша x1, x2 және x3 әліпбиіндегі қайнар 1000 символын жіберген кезіндегі ақпараттың жоғалтуын анықтау:

.

5. Егер Y қайнар шығуында символдардың пайда болу ықтималдылығы тең болса, онда 600 символды жіберуге арналған ақпараттың қабылдау санын анықтау, ал бөгеттердің ықпалын жіберу кезеңі каналдық матрицамен жазылады:

.

6. Әліпбидің символдарынан тұратын байланыс каналдарынан хабарламалар жіберіледі, бұдан әліпбидегі символдардан пайда болатын ықтималдылығы мынаған тең болады.

Байланыс каналының каналдық матрицасы келесідегідей түрде жазылған.

.

Егер бір символдың жіберу уақыты мс болса, онда ақпаратты жіберу жылдамдығын анықтау.

7. Байланыс каналы бойынша p=0,2; p=0,1 және p()=0,7 ықтималдылығы арқылы x1, x2 және x3 сигналдары жіберіледі. Каналдағы бөгеттер ы қпалы каналдық матрицада сипатталады:

.

x1 сигналына келетін ақпараттың шығындарының үлесін ж әне жалпы шартты энтропиясын анықтау (жеке шартты энтропиясы).

8. Байланыс каналы бойынша ықтималдылығы арқылы әліпбидегі x1, x2, x3 және x4 символдары жіберіледі.

Каналдағы бөгеттер каналдық матриацада берілген

.

Егер бір символдың жіберу уақыты t = 0,01 сек. болса, онда байланыс каналдарының өткізу қабілеттілігін анықтау.

Егер Y қабылдағыш кіруінде символдардың пайда болу ықтималдылығы тең болса, онда 500 символды жіберуге арналған ақпараттың қабылдау санын анықтау, ал бөгеттердің ықпалын жіберу кезеңі каналдық матрицамен жазылады:

.