Тема 9

Тема 9. Вторая квадратичная форма поверхности.

Нормальная кривизна поверхности

Вопросы для рассмотрения:

1. Понятие второй квадратичной формы поверхности.

2. Вычисление коэффициентов второй квадратичной формы.

3. Поверхность вращения. Коэффициенты второй квадратичной формы для поверхности вращения.

1. Вторая квадратичная форма поверхности

Пусть задана регулярная поверхность уравнением

(1)

и на ней задана - регулярная кривая, которая задается уравнением с натуральным параметром:

(2)

подставим и получим функцию от (3)

Продифференцируем:

,

где - единичный вектор касательной.

(4)

по формуле Френе (4'), где - единичный вектор главной нормали.

Пусть - единичный вектор нормали к поверхности в точке кривой и пусть угол между векторами и равна

Умножим правую часть равенства (4') скалярно на .

, так как .

Умножим обе части равенства (4) скалярно на , приводя подобные члены, получим:

(5)

так как ,

(6)

Перепишем:

(7)

Выражение в знаменателе первая квадратичная форма. Тогда в числителе квадратичная форма, которая называется второй квадратичной формой.

Вводим следующее обозначения:

, , .

Тогда (7) примет следующий вид:

(8)

Числитель формулы (8) называется второй квадратичной формой поверхности и обозначается:

,

а выражение называется нормальной кривизной линии на поверхности.

Нормальная кривизна поверхности проходящей через данную точку поверхности, зависит только от направления ее касательной, а мы знаем что направление касательной определяется отношением дифференциалов, т.к. - есть вектор касательной, т.е.

.

Все кривые на поверхности, проходящее через определенную точку и имеющие в ней общую касательную, имеют в этой точке равные между собой нормальные кривизны.

Среди множества кривых имеющих в т.М общие касательные, выберем ту, которую получаем в сечении поверхности плоскостью проходящей через нормаль поверхности и касательной.

Полученная кривая называется нормальным сечением поверхности в заданном направлении.

Найдем нормальную кривизну нормального сечения.

,

может быть два случая:

1) (выпуклое сечение, см. рис.16)

2) (вогнутое сечение, см. рис.17)

Рисунок 16 Рисунок 17

выпуклое сечение вогнутое сечение

2. Вычисление коэффициентов второй квадратичной формы

1. Пусть регулярная поверхность задана параметрическими уравнениями

,

2. Вычисление коэффициентов второй квадратичной формы заданной уравнением вида .

или

, , , , .

.

,

,

.

3. Вычисление коэффициентов второй квадратичной формы для поверхности вращения

, .

, ,

.

, , .

.

,

,

.

- вторая квадратичная форма для поверхности вращения.

Вычисление коэффициентов второй квадратичной формы при различных способах задания поверхности

Способ задания поверхности | Соответствующие коэффициенты второй квадратичной формы
В параметрическом виде: |
В явном виде: |
для поверхности вращения | ,

Вопросы для самопроверки

1. Как определяется вторая квадратичная форма поверхности?

2. Напишите формулы для вычисления коэффициентов второй квадратичной формы при различных способах задания поверхности?

3. Как определяется нормальная кривизна поверхности?

4. Что такое нормальное сечение поверхности?

В начало