Пример 1

Пример 1. Найдите особые точки линии, заданной следующим уравнением .

Решение. Перепишем данное нам уравнение в виде

.

Найдем первые производные по переменным и .

.

Перепишем найденные выражения в виде системы и решим ее.

.

Отсюда:

,

решая второе уравнение системы, получим

.

Нашли особую точку данной линии: . Определим вид особой точки. Для этого найдем вторые производные данной функции в точке .

.

Найдем значение

- узловая точка.

Ответ: М(0,0) – узловая точка.

Пример 2. Найдите особые точки линии, заданной следующим уравнением .

Решение. Перепишем это уравнение в более удобной форме.

.

Найдем первые производные по переменным и .

.

Перепишем найденные выражения в виде системы и решим ее.

.

Нашли особую точку данной линии: (точка не принадлежит данной прямой). Определим вид особой точки. Для этого найдем вторые производные данной функции в точке .

.

Найдем значение

.

При таком значении возможно несколько случаев, но, построив данную кривую, мы увидим, что точка М – точка самоприкосновения (кривая состоит из двух ветвей, не имеющих никаких особенностей, но касающихся друг друга в особой точке (см. рисунок 1)).

Рисунок 1

Ответ: М(0,0) – точка самоприкосновения.

Пример 3. Найдите особые точки и напишите уравнения касательных в них для следующей линии (конхоида Никомеда).

Решение. Найдем первые производные по переменным и .

Перепишем найденные выражения в виде системы и решим ее.

.

Решая первое уравнение, получим:

Подставляя полученное решение в первое уравнение, найдем

Нашли особую точку данной линии: . Определим вид особой точки. Для этого найдем вторые производные данной функции в точке .

.

Найдем значение

.

Рассмотрим следующие случаи:

1. Если . При таком соотношении точка М будет изолированной точкой и касательная в этой точке не существует.

2. Если . Тогда точка М будет узловой точкой. Найдем касательную в этой точке.

3. Если . В этом случае точка М будет точкой возврата первого рода (см. рисунок 2). Найдем касательную в этой точке.

Рисунок 2

Ответ: 1) при – изолированная точка, касательная не существует;

2) при – узловая точка, касательная

3) при – точка возврата первого рода, касательная .

Пример 4. Исследуйте и постройте линию (с особыми точками), заданную уравнением .

Решение. Начнем исследование данной линии с особых точек, алгоритм нахождения которых был подробно рассмотрен выше.

Приравняв к нулю первые производные, легко получить точку . Но найденная точка не будет особой, так как при подстановке ее в уравнение она не обращает его в тождество.

Так как нет особых точек, следовательно, нет и касательных в этих точках. Найдем точки пресечения кривой с осями.

Пересечение с осью :

.

Таким образом, получили точку пересечения графика данной нам функции с осью . Это точка .

Пересечение с осью :

.

Таким образом, получили точку пересечения графика данной нам функции с осью . Это точка .

Построим график заданной функции (рисунок 3).

Рисунок 3

Ответ: Ох — ось симметрии. Асимптот и особых точек нет. Линия пересекает ось Ох в точке , ось Оу – в точках .

Касательные к линии параллельны оси Ох в точках , оси Оу – в точке .