Тема 5

Тема 5. Сопровождающий трехгранник кривой

Вопросы для рассмотрения:

1. Сопровождающий трехгранник кривой.

2. Формулы Френе.

3. Уравнения бинормали, нормальной плоскости, главной нормали и спрямляющей плоскости.

1. Сопровождающий трехгранник кривой.

Определение: Нормалью кривой называется прямая, проходящая через точку кривой, перпендикулярно её касательной.

Кривой соответствует бесконечное множество нормалей. Возьмем из этого множества одну.

Пусть : , где S – естественный параметр.

-единичный вектор касательной, .

Найдем вторую производную: =. Производная вектора постоянной длины перпендикулярен самому вектору: или . Тогда является направляющим вектором какой-либо нормали.

Определение: Нормаль, имеющая направляющим вектором вторую производную радиуса- вектора кривой по натуральному параметру называется главной нормалью. (см. рис.8)

Рисунок 8

Определение: Плоскость, содержащая касательную и главную нормаль, называется соприкасающейся плоскостью кривой.

Вывод уравнения соприкасающейся плоскости.

,

,

- направляющий вектор главной нормали, - направляющий вектор касательной

; ; - компланарные векторы, лежащие в одной плоскости.( см. рис.9)

Рисунок 9

Вывод: вектор второй производной по параметру t принадлежит соприкасающейся плоскости,

,- принадлежат к соприкасающейся плоскости, - вектор нормали соприкасающейся плоскости.

Рассмотрим произвольную точку соприкасающейся плоскости и точку на кривой.

, .

, , - компланарны, отсюда следует условие компланарности:

- уравнение соприкасающейся плоскости.

Определение: Нормаль перпендикулярная соприкасающейся плоскости, называется бинормалью.

Касательная, главная нормаль и бинормаль определены в каждой точке кривой и определяют трехгранник с тремя прямыми углами при вершине.

( см. рис.10)

Этот трехгранник называется сопровождающим (основным или натуральным) трехгранником для кривой.(см. рис.11)

- единичный вектор главной нормали

- единичный вектор бинормали

- единичный вектор касательной

Рисунок 10

1-я грань – соприкасающаяся плоскость, содержащая касательную и главную нормаль.

2-я грань – нормальная плоскость, содержащая главную нормаль и бинормаль.

3-я грань – спрямляющая плоскость, содержащая бинормаль и касательную.

Рисунок 11

2. Формулы Френе

Когда точка перемещается по кривой, направление этих векторов меняется. Особое значение имеет циклическая перестановка этих трех векторов.

(см. рис.12)

,

.

Рисунок 12

Так как кривая параметризована по натуральному параметру, то ,, находят в зависимости от s:

, , .

Показателем изменения любой функции является её производная. Выразим производные ,, по дуге кривой, разложим по ортонормированному базису:

1) k1-скаляр.

2) , .

Так как - единичный вектор бинормали, то его производная перпендикулярна самому вектору: , т.е. , направлен по главной нормали: .

3) .

- формулы Френе

- кососимметричная матрица разложения.

3. Уравнения бинормали, главной нормали, нормальной плоскости, спрямляющей плоскости

- уравнение соприкасающейся плоскости.

.

Нормальный вектор соприкасающейся плоскости, будет являться направляющим вектором для бинормали.

- уравнение бинормали.

Так как главная нормаль перпендикулярна бинормали , касательной, то направляющий вектор для главной нормали будет

,

- уравнение главной нормали.

-уравнение соприкасающейся плоскости.

- нормальная плоскость.

- спрямляющая плоскость.

- уравнение спрямляющей плоскости.

Вопросы для самопроверки

1. Определение нормали пространственной кривой.

2. Определение главной нормали пространственной кривой.

3. Определение соприкасающейся плоскости.

4. Как определяется сопровождающий трехгранник кривой.

5. Уравнение соприкасающейся плоскости.

6. Определение бинормали кривой.

7. Определение единичных векторов сопровождающего трехгранника.

8. Формулы Френе (вывод).

9. Уравнения бинормали, главной нормали, нормальной плоскости, спрямляющей плоскости

В начало