Тема 10

Тема 10. Индикатриса Дюпена. Формула Эйлера.

Главные кривизны и главные направления

Вопросы для рассмотрения:

1. Индикатриса Дюпена.

2. Формула Эйлера.

3. Классификация точек поверхности.

1. Индикатриса Дюпена

Вопрос о кривизне линии на поверхности сводится к рассмотрению кривизны нормального сечения. (Сечение плоскостью проходящей через нормаль поверхности). Через данную точку поверхности можно провести бесчисленное множество нормальных сечений. Выясним, как меняется нормальная кривизна поверхности при переходе от одного нормального

сечения к другому. Возьмем нормальное сечение касательной t, и пусть нормальная кривизна равна k=0 в точке М в которую проведена ( см. рис. 18)

- формула нормальной кривизны нормального сечения.

Рисунок 18

Для нахождения нормального сечения через точку М проведем множество касательных и построим точки вида N и N1, получим множество таких точек соответствующих всевозможным нормальным сечениям проходящих через точку М.

Определение: Геометрическое место этих отрезков есть некоторая плоская кривая расположенная в касательной плоскости поверхности. Эта кривая называется индикатрисой Дюпена, соответствующей данной точке поверхности.

Уравнение индикатрисы Дюпена

(1)

В равенстве (1) «+» означает случай вогнутого, а «—» выпуклого нормального сечения.

(1) – уравнение индикатрисы Дюпена - линия второго порядка.

Вывод: Индикатриса Дюпена заданная уравнением (1) есть кривая второго порядка, центр которой совпадает с рассматриваемой точкой поверхности.

Классификация точек поверхности осуществляется на основе того, какой кривой будет индикатриса Дюпена в заданной точке. Из уравнения (1) составим уравнение . Возможны 3 случая.

1. >0, квадратное уравнение (1) не будет иметь решения, тогда индикатриса Дюпена будет являться эллипсом и будет проходить через N и M, такие точки называются эллиптическими.

2. 0, тогда уравнение (1) имеет один корень и индикатриса Дюпена будет служить пара параллельных прямых. Точка M называется параболической.

3. Понятие индикатрисы Дюпена в этом случае теряет смысл. Точка M называется точкой уплощения.

2. Формула Эйлера

- индикатриса Дюпена.

Уравнение индикатрисы Дюпена может быть упрощено, если ввести систему координат так, чтобы точка М совпала с началом координат, касательная плоскость к поверхности совпадала с плоскостью Oxy, выбор направления осей Ox, Oy пока оставим за собой.

Параметризируем поверхность вблизи точки М так, чтобы u=x, v=y, и пусть она выражена уравнением z=f(x,y)

, тогда , .

Для того, чтобы касательная плоскость совпадала с плоскостью Oxy, необходимо, чтобы в точке М выполнялось условие экстремума точки

Необходимое условие экстремума. Если дифференцируемая функция z=f(x, y) достигает экстремума в точке , тогда система, рассмотренная выше для индикатрисы Дюпена имеет вид: .

(в точке М=0), где , и оси Ox, Oy направлены так, чтобы их направления совпали с главными направлениями индикатрисы Дюпена.

Полученная система координат называется нормальной и .

Из аналитической геометрии известно, что если координатные оси идут по главным направлениям кривой II порядка, то в ее уравнении отсутствует член с произведением координат. Тогда индикатриса Дюпена для точки О примет вид: (*) (см. рис. 19)

Рисунок 19

Формула Эйлера связывает нормальную кривизну произвольного направления в точке поверхности с нормальными кривизнами главных направлений индикатрисы Дюпена в этой точке.

- формула Эйлера.

- главные кривизны.

Определение: Главными кривизнами поверхности в данной точке называются нормальные кривизны, соответствующие главным направлениям индикатрисы Дюпена.

3. Классификация точек поверхности

(*) – уравнение индикатрисы Дюпена.

Составим выражение, которое называется дискриминантом второй квадратичной формы, стоящим в первой части уравнения (*).

а) , эллиптическая точка, эллипс

б) , гиперболическая точка, 2 сопряженные гиперболы

в) , параболическая точка, 2 параллельные прямые

г) - понятие индикатрисы меняет смысл, все нормальные сечения имеют кривизну, равную нулю – точка уплощения.

Эллиптическая точка.

Если индикатриса Дюпена принадлежит эллиптическому типу, то в нормальной системе координат ее уравнение примет вид:

Главные кривизны имеют одинаковые знаки, так как , поэтому нормальные кривизны всех направлений будут одного знака.

Так как выбор направления нормального вектора зависит от нас, то его всегда можно направить таким образом, чтобы были положительными. Тогда в рассматриваемой точке нормальные кривизны всех направлений положительны, то есть все нормальные сечения вогнуты. Вогнутость всех нормальных сечений, проходящих через эллиптическую точку поверхности, направлена в одну сторону. Отсюда следует, что все точки поверхности, достаточно близкие к эллиптической точке, расположены по одну сторону от касательной плоскости в этой точке.

Обратно, если все точки поверхности достаточно близкие к данной, лежат по одну сторону касательной плоскости и кривизна нормального сечения не обращается в нуль, то все нормальные сечения, в том числе и сечения главных направлений, имеют кривизну одного знака. (см. рис.20)

Так как все сечения в эллиптической точке вогнуты, то правая часть уравнения индикатрисы Дюпена равна 1.

.

Если в некоторой точке поверхности индикатриса имеет форму окружности, то эта точка называется омбилической. Это возможно, если .

Все нормальные кривизны равны между собой. Примером омбилической точки является любая точка сферической поверхности.

Рисунок 20

Так как все сечения в эллиптической точке вогнуты, правая часть уравнения индикатрисы Дюпена равна 1.

Уравнение индикатрисы или .

Гиперболическая точка.

Если точка гиперболическая, то в нормальной системе координат

.

Отсюда следует, что главные нормальные кривизны имеют разные знаки

.

Обозначение:

,

т.к.

и

две сопряженные гиперболы. (см. рис. 21)

Рисунок 21

Поверхность имеет вид седла. (см. рис. 22)

Рисунок 22

Так как главные кривизны разных знаков, то, при переходе от направления Ох к Оу, получим направление, в котором нормальная кривизна равна нулю.

Оно совпадает с направлением асимптоты гиперболы.

Внутри углов, образованных асимптотами нормальная кривизна одного знака: в одной паре – положительная, в другой – отрицательная.

Это значит, что нормальные сечения, заключенные в одной паре – все выпуклые, в другой – все вогнутые.

Параболическая точка.

Предполагая, что нормальная кривизна , пусть для определенности – . Вид индикатрисы в нормальной системе

.

Формула Эйлера .

Все нормальные кривизны положительны.(кроме )

Индикатриса: - две параллельные прямые. (см. рис. 23)

Рисунок 23

Поверхность имеет сложное строение, в частности «полуседлообразное». («желоб») (см. рис. 24)

Все сечения вогнутые, кроме сечения, имеющего нулевую кривизну.

Рисунок 24

Экстремальное свойство главных кривизн

Из формулы Эйлера следует, что главные кривизны представляют собой экстремальные значения нормальной кривизны (т.е. max и min).

(*)

Исследуем равенство (*). Пусть =0 =>

= => .

т.е. когда меняется на промежутке [0; ], меняется от до .

и - экстремальные значения для всех точек, кроме омбилических.

Вопросы для самопроверки

1. Дайте определение индикатрисы Дюпена.

2. Напишите уравнение индикатрисы Дюпена.

3. В чем смысл формулы Эйлера.

4. Напишите формулу Эйлера.

5. Дайте определение главных кривизн.

В начало