Тема 13

Тема 13. Геодезические линии на поверхности

Вопросы для рассмотрения:

1. Геодезические линии на поверхности.

2. Полугеодезические координаты.

3. Экстремальное свойства геодезических линий.

1. Геодезические линии на поверхности

Определение: Кривая на поверхности называется геодезической, если её

главная нормаль в каждой точке, где кривизна отлична от нуля совпадает с нормалью к поверхности.

Примеры:

1) Прямая линия на поверхности геодезическая.

2) На сфере большие дуги являются геодезическими.

Уравнение геодезических линий

Пусть r=r(t) параметрическое уравнение геодезической кривой. Так как на поверхности , лежат в соприкасающей плоскости, то

(1)

На кривой достаточно в малой окрестности локально всегда можно взять в качестве параметра u или v. Если на геодезической взять в качестве параметра u, то v=v(u)

Так как

(3)

(3) – дифференциальное уравнение геодезических линий

(3) - дифференциальное уравнение второго порядка.
Из теоремы существования и единственности решений уравнения второго порядка следует, что через каждую точку поверхности в любом направлении проходит, и притом только одна геодезическая.

– общий вид уравнения. При начальных условиях оно имеет единственное решение. Геометрически это означает, что через данную точку (u0, v0) по заданному направлению, определенную , проходит единственная кривая

v=v(u) (u=t)

2. Полугеодезические координаты

Определение: Ортогональной траекторией некоторого семейства кривых на поверхности называется линия которая пересекает каждую линию семейства под прямым углом.

Определение: Параметризация поверхности называется полугеодезической, если одно семейство координатных линий состоит из геодезических, а второе ему ортогонально.

Определение: Полугеодезической координатной сетью называется сеть состоящая из двух семейств: геодезических и ортогональных траекторий.

Например: Меридиан – это круг большого радиуса проходящий через полюс, поэтому меридианы представляют собой ортогональные траектории семейства параллелей. Следовательно геодезическими являются прямые, а окрестность является их ортогональным семейством. В результате получим полугеодезическую координатную сеть.

Линейный элемент поверхности в полугеодезической параметризации.

Пусть семейство линий u – является геодезической, тогда v - линии ортогональной траектории.

,

Разложим вектор по некомпланарным векторам и

(4)

Умножим (4) скалярно на

Так как сеть ортогональна F=0

Так как F=0

Ev=0.

F=0, Ev=0 – это означает, что сеть ортогональна.

Так как следовательно E зависит только от u. .

Введем новый параметр , . Это обозначение возможно, так как Е зависит только от u. Тогда линейный элемент примет вид:

- I квадратическая форма в полугеодезической параметризации.

Теорема: Если γ – любая гладкая кривая на поверхности, то в её окрестности всегда можно ввести полугеодезическую параметризацию, у которой одно семейство представляет собой геодезические линии, ортогональные к линии γ, а сама она относится к семейству ортогональных траекторий.

Из вида линейного элемента следует, что для любой геодезической линии

v = const, параметр совпадает с натуральным параметром любой из этих линий.

- длина дуги каждой из этих геодезических, заключенных между двумя ортогональными траекториями, не зависит от того, для какой геодезической она вычисляется.

Две ортогональные траектории семейства геодезических линий отсекают на различных линиях этого семейства дуги равной длины.

3. Экстремальное свойство геодезических линий

Теорема: Между двумя достаточно близкими точками на поверхности кратчайшее расстояние измеряется дугой геодезической (по сравнению с близкими к ней кривыми).

Геодезическая кривизна

Определение: Геодезической кривизной линии на поверхности в некоторой её точке называется модуль проекции вектора (по натуральному параметру) на касательную плоскость.

У геодезической эта проекция везде равна нулю, поэтому геодезическая кривизна во всех точках равна нулю. Она является объектом внутренней геометрией поверхности.

Теорема Гаусса-Бонне:

,

Где γ – регулярная кривая, G - гомеморфная кругу область на поверхности, k – гауссова кривизна.

Геодезическая кривизна считается положительной, если кривая выпукла обл. наружу обл. G, в противном случае «отрицательна».

– элемент поверхности.

а) пусть контур гладкий,

, исключаются точки излома.

б) в случае, если кусочно-гладкая кривая с узлами в точках излома .

, i – число точек излома, n – число его угловых точек.

Определение: Гомеоморфная кругу область на поверхности, ограниченная тремя геодезическими, называется геодезическим треугольником.

Для геодезического треугольника (см. рис.26)

Рисунок 26

Если k>0, ,

k<0, ,

k=0,

Для сферического треугольника: , R- радиус сферы, τ – площадь треугольника.

Формула Гаусса-Бонне дает связь длины контура и геодезической кривизны вдоль него.

Вопросы для самопроверки

1. Дайте определение геодезических линии на поверхности.

2. Напишите дифференциальное уравнение геодезических линии.

3. Как вводятся полугеодезические координаты?

4. Назовите экстремальное свойство геодезических линий?

5. Дайте определение геодезической кривизны.

6. В чем смысл формулы Гаусса-Бонне.

В начало