Тема 3

Тема 3. Особые точки регулярных плоских кривых

Вопросы для рассмотрения:

1. Особые точки регулярных плоских кривых.

2. Классификация особых точек.

1. Особые точки плоской кривой

Определение: Точка плоской кривой, заданная неявным уравнением

(1)

назыается особой, если имеет место условие: .

(2)

(2) - уравнение касательной для кривой заданной в неявном виде.

Если в точке , то направление касательной кривой в этой точке не определяется.

Предположим, что ту же кривую можно задать параметрическими уравнениями

, тогда будет являться тождеством.

Продифференцируем его дважды в особой точке , соответствующей параметру t.

, где - сложные функции от независимой переменной t.

.

(3)

так как точка особая, то .

(4)

Если коэффициенты уравнения (4) одновременно не равны нулю, то получим квадратное уравнение. Обозначим

:, .

, получим отношение координат направляющего вектора касательной.

(5)

(5) – характеристическое уравнение для отыскания особых точек.

.

2. Классификация особых точек

Решив уравнение (5) относительно , находим отношение координат направляющего вектора касательной в особой точке. Возможны несколько случаев:

А. δ > 0 (D < 0)

Уравнение (5) не имеет действительных корней, значит касательная в особой точке не существует. В этом случае особая точка называется изолированной.

Б. δ < 0 (D > 0)

Уравнение (5) имеет 2 действительных корня, две ветви кривой проходят через точку , имеющие две различные касательные. В этом случае особая точка называется узловой. Уравнения касательных определяются из уравнения (4).

C. δ = 0 (D = 0)

Уравнение (5) имеет единственный корень. Возможны случаи:

а) изолированная точка

.

б) точка возврата I рода.

В этом случае кривая состоит из двух ветвей с общей касательной в особой точке. Обе ветви расположены по одну сторону от нормали и по разные стороны относительно касательной.

Пример: (полукубическая парабола) (см. рис.4)

, , , ,

, , , .

Рисунок 4

Найдем направляющий вектор касательной

,

- касательная, - нормаль.

в) точка возврата II рода.

Две ветви кривой, проходящие через особую точку и имеющие ней общую касательную расположены по одну сторону от касательной и по одну сторону от нормали.

г) точка самоприкосновения.

Кривая состоит из двух ветвей, не имеющих никаких особенностей, и касаются друг друга особой точке. (см. рис.5)

Рисунок 5

Начало координат – точка самоприкосновения.

д) Если в данной точке, то через особю точку может проходить несколько ветвей кривой.

Пример: - трилистник. (см. рис.6)

Рисунок 6

и - касательные; - особая точка, через неё проходят три ветви кривой.

Вопросы для самопроверки

1. Определение особой точки неявного задания кривой.

2. Вывод характеристического уравнения.

3. Случай изолированной точки.

4. Случай узловой точки.

5. Случай точки возврата 1 рода.

6. Случай точки возврата 2 рода.

В начало