Тема 12

Тема 12. Внутренняя геометрия поверхности и изгибание поверхности

Вопросы для рассмотрения:

1. Изгибание и наложимость.

2. Внутренняя геометрия поверхности.

1. Изгибание и наложимость

Изгибанием называется деформация поверхности, имеющей свойства нерастяжимости, но гибкой пленки. Или изгибанием поверхности называется преобразование, при котором сохраняются длины кривых на поверхности. (изометрическое преобразование) Изгибание может протекать различным образом. В результате появляются наложимые поверхности.

Определение: Две поверхности называются наложимыми, если между их точками можно установить такое взаимно-однозначное соответствие при котором длины соответствующих линий, расположенных на этих поверхностях равны между собой.

Преобразование f – изометрическое преобразование.

Ф- незамкнутый цилиндр. (см. рис. 25) - изометрия

- наложимые поверхности.

Рисунок 25

Признак наложимости: Для того чтобы поверхности были наложимы, необходимо и достаточно, чтобы эти регулярные поверхности допускали такие параметризации, при которых в точках этих двух поверхностей с одинаковыми криволинейными координатами были равны соответствующие коэффициенты их первых квадратичных форм.

2. Внутренняя геометрия поверхности

Свойства поверхности и ее частей разделяют на две группы.

Под внутренней геометрией поверхности понимают раздел геометрии, в котором изучают свойства поверхности и фигур на ней, зависящие только от длин кривых на поверхности.

1. Длина дуги линии, расположенной на поверхности

2. Угол между линиями

3. Площадь поверхности

Определение: Внутренней геометрией поверхности называется раздел геометрии, который исследует свойства поверхности или ее частей определяющихся через коэффициенты I квадратичной формы или через их производные.

Теорема Гаусса: Полная кривизна К регулярной поверхности выражается через коэффициенты I квадратичной формы

K=f(E, G, F, )- полная кривизна поверхности является объектом внутренней геометрии поверхности.

Вопросы для самопроверки

1. Дайте определение изгибании поверхности.

2. Какие поверхности называются наложимыми?

3. Назовите признак наложимости.

4. Что такое внутренняя геометрия поверхности?

5. Дайте формулировку теоремы Гаусса.

6. Назовите все объекты внутренней геометрии поверхности?

В начало