Тема 7

Тема 7. Понятие поверхностей. Касательная плоскость и нормаль

Вопросы для рассмотрения:

1. Понятие поверхности.

2. Криволинейные координаты и параметрическое уравнение поверхности

3. Кривые на поверхности.

4. Касательная плоскость и нормаль.

1. Понятие поверхности

Пусть М - множество точек плоскости.

Определение: Точка А называется внутренней точкой множества М, если множество М содержит все достаточно близкие точки к точки А.

Определение: Множество М называестя открытым, если любая его точка внутренняя.

Определение: Множество М называестя областью, если оно открытое и любые его две точки можно соединить ломанной принадлежащей М.

Например: круг безограничивающей его окружности является областью, следовательно открытый круг, односвязная плоская область, все его называется внутренними.

Определение: Точка Х плоскости называется граничной точкой для области М, если любая его окрестность содержит точки принадлежащие множеству М и точки не принадлижащие множеству М.

Определение: Граничные точки образуют границу области.

В рассмотренном примере окружность ограничивающая кругом состоит из граничных точек. Присоединяя к области его границы, получим замкнутую область.

Определение: Окрестностью точки называется любое открытое множество содержащее эту точку.

Определение: - окрестностью называется множество точек, которое отстает от данной точки на расстоянии меньше .

Определение: Элементарной поверхностью называется множество точек топологически эквивалентных простому кругу.

Примеры: Полусфера топологически эквивалентно кругу, параболический цилиндр топологически эквивалентно кругу.

Определение: Поверхностью называется такие множество точек, могут быть склеены из конечного или счетного числа множества элементарных поверхностей.

фигура – поверхность.

следует - часть поверхности, элементарной поверхности.

.

2. Криволинейные координаты и параметрическое уравнение поверхности

Рассмотрим элементарную поверхность , по определению она получена топологическим отображением открытого круга .

.

Тогда точке соответствует точка плоскости .

На задана прямоугольная декартовая система координат (ПДСК), прямоугольные точки .

Если такое отображение задано, то говорят, что поверхность параметризована, а величины называются криволинейными координатами точки данной поверхности.

В силу непрерывности отображения всякой линии на плоскости соответствует некоторая линия на поверхности.

В частности прямым , соответствуют такие линии поверхности, которые называются параметрическими или координатными линиями данной параметризации.

В силу однозначности соответствия через каждую точку параметризованной поверхности проходит единственная пара прямых

Оба эти семейства линии образуют на поверхности координатную сеть.

Определение: Числа называются криволинейными или гауссовыми координатами точки на поверхности.

Положение точки зависит от ее криволинейных координат и ее радиус-вектор так же является функцией криволинейных координат.

Определение: Уравнение вида

(1)

называется параметрическим уравнением поверхности в векторной форме.

Векторное уравнение (1) равносильно трем координатным уравнениям

(2)

(3)

Определение: Поверхность с заданным уравнением (2) называется регулярной, если она обладает следующими свойствами:

1. функции , , имеют непрерывные частные производные вплоть до - го порядка.

2. Ранг матрицы (4)

Определение: При =1 поверхность называется гладкой.

Из уравнения (3)

,

условия (4) означает, что векторы неколлинеарные.

Следовательно, чтобы поверхность была регулярной, необходимо и достаточно .

(5) - уравнение поверхности в неявном виде.

(6) - уравнение поверхности в явном виде.

3. Кривые на поверхности

Пусть на поверхности (7) задана кривая, параметризированная с помощью параметра .

(*) – внутреннее уравнение прямой.

Так как кривая принадлежит поверхности, то ее координаты удовлетворяют уравнению (7). Подставим уравнение (*) в уравнение поверхности и получим:

- параметрическое уравнение данной линии.

Найдем вектор касательной к этой кривой. Дифференцируем радиус-вектор по параметру .

(8)

- касательный вектор к «- линии»

- касательный вектор к «- линии»

,- координатные векторы.

- компланарные векторы.

4. Касательная плоскость и нормаль.

Пусть через точку проходит множество гладких линий вида и каждая имеет касательную. Все они лежат в одной плоскости. Из (2) следует, что касательные векторы по всем линиям проходят через данную точку и лежат в одной плоскости.

Определение: Касательной плоскостью в точке называется плоскость, содержащая касательные по всем линиям проходящих через точку .

Чтобы получить уравнение касательной плоскости необходимо принять во внимание, что касательная плоскость содержит векторы , и ,. Поэтому вектор .

Пусть - данная точка на поверхности, - любая точка касательной плоскости.

, ,- компланарные векторы.

- уравнение касательной плоскости.

Определение: Прямая перпендикулярная касательной плоскости и проходящая через точку касания называется нормалью, а ее направляющий вектор нормальным вектором поверхности.

- уравнение нормали.

Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

Уравнение поверхности | Уравнение касательной плоскости | Уравнение нормали
- векторное уравнение поверхности. |  |
-параметрическое уравнение поверхности |  |
в неявном виде |  |
в явном виде |  |

Вопросы для самопроверки

1. Дайте определение элементарной поверхности.

2. Дайте определение поверхности.

3. Как определяются криволинейные координаты поверхности?

4. Напишите параметрические уравнения поверхности.

5. Дайте определение регулярной поверхности.

6. Дайте определение касательной плоскости.

7. Напишите уравнение касательной плоскости.

8. Дайте определение нормали плоскости.

9. Напишите уравнение нормали.

В начало