Тема 2

Тема 2. Понятие кривой

Вопросы для рассмотрения:

1. Понятие кривой.

2. Регулярные и гладкие кривые. Способы задания кривой.

3. Касательная прямая гладкой кривой.

4. Нормаль к плоской кривой.

1. Понятие кривой

Определение: Взаимнооднозначным отображением фигуры называется такое соотношение между точками этих фигур, при котором каждым точкам фигуры сопоставляются единственные точки и обратно.

Определение: Отображение называется непрерывным, если достаточно близким точкам сопоставляются близкие точки .

Определение: Говорят, что - непрерывно в точке , если такое, что любым точкам принадлежащих окрестности точки , принадлежат соответствующие точки окрестности точки у фигуры

Замечание: Если отображение непрерывно в каждой точке , то оно называется просто непрерывным.

Определение: Отображение называется топологическим (гомеоморфным), если оно взаимнооднозначно, непрерывно вместе с обратным ему отображением.

Определение: Отображение называется локально-топологическим, если является топологическим в достаточно малой окрестности каждой ее точки.

Определение: Фигуры и называется топологически эквивалентными, если существует топологическое отображение .

Определение: Элементарной кривой называется фигура, топологически эквивалентная открытому отрезку кривой.

Определение: Простой кривой называется фигура, каждая точка которой имеет пространственную окрестность пересекающую эту фигуру по элементарной кривой.

Определение: Общей кривой называется фигура, полученная из простой кривой с помощью локально топологического отображения.

Параметрическое уравнение кривой

Пусть задана декартово система координат в пространстве (см. Рисунок1)

Рисунок 1

Дугу AB отобразим на отрезок ,

Так как каждой точке кривой AB будет соответствовать свой параметр, кривая считается параметризованной.

Рассмотрим (1)

уравнение (1) является параметрическим уравнением кривой в векторной форме.

В декартовой системе координат вектор разложится по базису

так как зависит от

(2)

(2) - координатная форма записи.

(3)

уравнение (3) называется параметрическим уравнением пространственной кривой .

2. Регулярная и гладкая кривая

Определение: Кривая называется регулярной кривой класса k, если функция обладает следующими свойствами

1.

2.функция имеет непрерывные производные до k-го порядка.

Определение: Если k=1 (имеет производную 1-го порядка) то регулярная кривая называется гладкой.

Примеры:

1) прямая в пространстве – гладкая кривая, k=1.

2) Синусоида:

, синусоида - регулярная кривая класса k.

3. Касательная прямая гладкой кривой.

Пусть нам задана кривая .

Возьмем на ней некоторую точку М.

Определение: Прямая Т называется касательной к кривой в данной точке М, если она является предельным положением секущей, проходящей через данную точку и другую точку кривой, неограниченно приближающейся к данной.

Вывод уравнения касательной

Пусть кривая параметризована и задана уравнением (1)

( см. Рисунок2)

Рисунок 2

Рассмотрим

- направляющий вектор секущей

Если точка будет неограниченно приближаться к точке , то секущая будет занимать положение касательной вектор при совпадает с направляющим вектором Т касательной.

Рисунок 3

(см. Рисунок3)

-направляющий вектор касательной

(4)

(4) - уравнение касательной для пространственной кривой.

Если кривая плоская, то уравнение касательной имеет вид

( 4’)

Рассмотрим кривую, заданную уравнением

(5)

Кривая заданная уравнением (5) называется кривой в явном виде.

Найдем уравнение касательной. Перейдем к параметру, приняв за параметр x

( 5’)

(6)

,

Подставляя в уравнение (6) получим

( 6’)

( 6’) - уравнение касательной для кривой в явном виде.

Рассмотрим кривую, заданную уравнением (7)

,

Подставив в уравнение касательной , получим

или

(8)

(8) - уравнение касательной к плоской кривой в неявном виде.

4. Нормаль к плоской кривой

Пусть задана кривая и касательная Т .

Определение: Нормалью к плоской кривой называется прямая, проходящая через точку кривой, перпендикулярной касательной кривой в этой точке.

Найдем уравнение нормали.

1. Уравнение нормали в параметрической форме

-направляющий вектор касательной. Условие перпендикулярности двух прямых направляющий вектор нормали имеет координаты

- уравнение нормали для кривой в параметрической форме.

2. в явном виде.

уравнение нормали для кривой в явном виде:

3. уравнение в неявном виде.

- направляющий вектор касательной

- направляющий вектор нормали

- уравнение нормали для кривой в неявном виде.

Для плоской кривой

Способ задания кривой | Уравнение касательной | Уравнение нормали

Вопросы для самопроверки:

1. Дайте определения взаимно-однозначного отображения, непрерывного отображения, топологического отображения, локально-топологического отображения.

2. Дайте определения элементарной кривой, простой кривой, общей кривой.

3. Каково параметрическое уравнение кривой:

а) в векторной форме

б) в координатной форме

4. Дайте определение регулярной кривой, гладкой кривой.

5. Назовите способы задания плоской кривой .

6. Дайте определение касательной кривой.

7. Теорема о производной радиуса – вектора гладкой кривой (с доказ.)

8. Уравнение касательной пространственной кривой, заданной параметрическими уравнениями

9. Уравнение касательной плоской кривой, заданной:

а) параметрическим уравнением;

б) неявным уравнением;

в) уравнением у = f (x)

10. Определение нормали.

11. Уравнение нормали плоской кривой, заданной:

а) парметрическим уравнением;

б) неявным уравнением;

в) уравнением y=f(x).

В начало