Тема 8

Тема 8. Первая квадратичная форма поверхности

Вопросы для рассмотрения:

1. Понятие первой квадратичной формы поверхности.

2. Угол между двумя линиями на поверхности.

3. Поверхность вращения. Коэффициенты первой квадратичной формы для поверхности вращения.

1. Понятие первой квадратичной формы

Пусть задана регулярная гладкая поверхность уравнением в векторной форме:

(1)

- гладкая кривая на поверхности.

(2)

(2) – параметрическое уравнение линии.

Найдем касательные к кривой.

Длина кривой вычисляется по формуле

( 3)

Интеграл (3) обозначает интегрирование вдоль кривой .

первая квадратичная форма поверхности.

Для измерения длин кривых на поверхности достаточно знать первую квадратичную форму поверхности. В связи с этим говорят, что первая квадратичная форма задает метрику на поверхности и называет её линейным элементом поверхности.

Вычисление коэффициентов E, F, G.

1.

2. Если z=f(x,y) в явном виде, то

2. Угол между двумя линиями на поверхности

Пусть задана гладкая поверхность F векторным уравнением.

Рассмотрим две кривые, принадлежащие F.

1: 2 :

Углом между кривыми 1, 2 в их общей точке P(U0, V0) называется угол между касательными этих кривых.

Рассмотрим направление векторы касательных.

1 : = + =

2 : = =

* = cos

cos = = ;

cos =

Угол между кривыми на поверхности определяется коэффициентами первый квадратичной формы.

Рассмотрим угол между «U – линиями» и «V – линиями». Выясним условие ортогональности координатных сетей.

«V линии» du = 0, «U линии» dv = 0

cos = = - угол между координатными линиями.

Условие ортогональности линии

cos = 0 Þ = 0 Þ F = 0

Координатная сеть на поверхности ортогонально тогда и только тогда, когда F = 0

I = ds2 = F du + G dv2

3. Поверхность вращения

Пусть задана плоская линия γ и в ее плоскости дана некоторая прямая.

Определение: Поверхностью вращения называется поверхность, образованная вращением плоской линии, вокруг данной прямой, как вокруг данной прямой, как вокруг оси.

Вывод уравнения поверхности вращения

Пусть линия γ находится на плоскости x0z и имеет параметрическое уравнение:

За ось вращения возьмем ось Oz

Линии пересечения поверхности с плоскостями проходящими через ось вращения, называется меридианами , а линии пересечения с плоскостями перпендикулярными оси называется параллелями.

- уравнение поверхности вращения

E====

F=

G=

I= - первая квадратичная форма для поверхности вращения

F=0 для поверхности вращения координатная сеть ортогональна

Площадь области на поверхности

- формула для вычисления площади области на поверхности.

- формула для вычисления площади области на поверхности заданной в явном виде.

Способы задания поверхности | Соотвествующие коэффициенты первой квадратичной формы.
В параметрическом виде: |
В явном виде: |
для поверхности вращения | E= F= G=

Применение коэффициентов первой квадратичной формы:

Длина дуги |
Угол между двумя линиями на поверхности |
Площадь области на поверхности |

Вопросы для самопроверки

1. Как определяется первая квадратичная форма поверхности?

2. Напишите формулы для вычисления коэффициентов первой квадратичной формы при различных способах задания поверхности?

3. Как определяется угол между двумя линиями на поверхности?

4. Как определяется угол между координатными линиями на поверхности.

5. Дайте определение поверхности вращения.

6. Напишите уравнение поверхности вращения.

7. Напишите формулы для вычисления площади области поверхности при различных способах задания поверхности.

В начало