Тема 4

Тема 4. Огибающее семейство плоских кривых. Длина дуги

Вопросы для рассмотрения:

1. Огибающее семейство плоских кривых.

2. Эволюта кривой.

3. Длина дуги. Натуральный параметр кривой.

1. Огибающее семейство плоских кривых

Рассмотрим уравнение (1)

левая часть непрерывная, диффернцируемая функция трех переменных. Придавая различные значения получим семейство кривых, зависящих от параметра .

Определение: Огибающей семейства (1) называется такая кривая, которая в каждой своей точке касается кривой семейства.

Определение: Точка прикосновения огибающей кривой семейства называется характеристической точкой кривой семейства.

Уравнение семейства огибающих

Пусть огибающее семейства (1) существует так как по определению, каждая точка огибающей принадлежит семейству кривых, поэтому координаты точек огибающей являются функциями от параметра .

(2)

(2) подставим (1)

(3)

Продиффиренцируем по параметру (независимому).

(4)

Уравнение кривой семейства имеет вид:

(*)

уравнение кассательной , следовательно направление вектора всех касательных имеет вид: . Направляющий вектор кассательной кривой (2) будет .

Направляющий вектор кассательной к кривой и огибающей совпадают в их общей точке, поэтому будет пропорциональность координат направляющих векторов в точке прикосновения:

(5)

(5) подставим (4)

(6)

(7)

Если известна огибающая, то координаты ее точек будет решением системы:

(8)

(8) – уравнение огибающей семейства.

2. Эволюта кривой

Пусть задана плоская кривая. Эволюта является примером огибающей. Рассмотрим семейство нормалей плоской кривой.

Определение: Огибающее семейство нормалей плоской кривой называется её эволютой.

Вывод уравнения эволюты

(9)

Уравнение нормали: или , - параметр.

При различных (9) определяет семейство нормалей данной кривой.

Эволюта удовлетворяет условиям (8)

(10)

Продифференцируем по параметру .

Обозначим

, (11)

(11) - уравнение эволюты.

3. Длина дуги кривой. Натуральный параметр кривой

Пусть задана пространственная кривая, параметризованная по параметру .

- элементарная кривая концы, которой в точках А и В.

Определение: Длиной дуги кривой между точками А и В (что соответствует параметру , ) называется предел длин ломаных линий, вписанных в данную дугу при условии, что длины звеньев ломаных убывают, а их число неограниченно растет.

Теорема: Любая дуга гладкой кривой имеет определенную длину, если кривая задана уравнением (t), то длина дуги кривой определяется по формуле:

(1), где -

Формулы длины кривой, для различных случаев задания кривой.

1.

2.

3.

4.

Натуральный (естественный) параметр

Пусть - гладкая кривая, заданная уравнением: и в нижний предел – постоянный, а верхний- переменный, тогда - это функция, зависящая от t.

Так как производная этой функции положительна во всех не особых точках кривой, то эта функция монотонно возрастает, при увеличении параметра. Отсюда следует, что величину S можно принять за новый параметр, так как точки кривой и значение длины дуги находятся во взаимно однозначном и непрерывном соответствии. Такая параметризация кривой называется естественной или натуральной.

Лемма: В случае естественной параметризации производная радиуса-вектора кривой есть единичный вектор касательной.

.

Доказательство: действительно, уравнение или

.

, потому что .

Геометрический смысл: Если дуга стремится к нулю, тогда отношение хорды на её стягивающую дугу равно единице.(см. рис.7)

Рисунок 7

Вопросы для самопроверки

1. Понятие однопараметрического семейства плоских кривых.

2. Определение огибающей семейства. Уравнение огибающей.

3. Определение эволюты. Уравнение эволюты.

4. Определение длины дуги кривой.

5. Теорема о длине дуги пространственной кривой.

6. Формула длины дуги пространственной кривой (при различных способах задания).

7. Формулы длины дуги плоской кривой.

8. Как вводится натуральный параметр.

В начало