Тема 11

Тема 11. Линии кривизны

Вопросы для рассмотрения:

1. Уравнение линии кривизны.

2. Средняя и полная кривизна.

3. Асимптотические линии на поверхности.

4. Поверхности постоянной гауссовой кривизны.

1. Уравнение линии кривизны

Главные кривизны на поверхности будут соответствовать экстремальным значениям нормальной кривизны.

Нормальные кривизны рассматриваются по главным направлениям индикатрисы Дюпена, при этом исключаются точки уплощения и омбилические точки.

1) В случае точек уплощения нормальные кривизны во всех направлениях равны нулю.

2) В омбилических точках (где индикатрисы Дюпена – окружность) все нормальные кривизны равны между собой.

В этих случаях любое направление считается главным.

Определение: Направления в точке М на поверхности называются сопряжёнными, если они являются направлениями сопряжённых диаметров индикатрисы Дюпена в точке М.

Определение: Координатная сеть u и v на поверхности называется сопряжённой, если направления координатной линии в каждой точке являются сопряжёнными. Если координатная сеть сопряжённая, то М=0 и обратно.

Теорема: Чтобы координатная сеть была сопряжённой на поверхности, необходимо и достаточно, чтобы М=0.

Вывод формулы линии кривизны

Пусть задана поверхность F и кривая F, точка М . ,- единичный вектор касательной в точке М.

Числитель и знаменатель разделим на ≠0:

Векторы и и коэффициенты E, F, G определены в точке М, поэтому направление вектора зависит только от соотношения . В этом смысле отношение определяет направление в данной точке поверхности.

Найдём условие, при котором направление на поверхности является главным.

Рассмотрим формулу нормальной кривизны:

=.

Продифференцируем это равенство по и по .

.

.

=0 (*)

(*) - дифференциальное уравнение линии кривизны.

Определение: Линия на поверхности называется линией кривизны, если её направление в каждой точке является главным.

Если на поверхности в области, где нет точек уплощения и омбилических, то координатная сеть состоит из линии кривизны. В каждой точке такой области имеется два главных направления. Они ортогональны и сопряжены.

Следовательно, если они ортогональны, то F=0, сопряжены – М=0.

Теорема Родрига: При дифференцировании по главному направлению на поверхности

.

– дифференциал единичного нормального вектора.

- нормальная кривизна в этом направлении.

2. Средняя и полная кривизна

Определение: Средней кривизной поверхности называется полусумма главных кривизн. Полной или гауссовой кривизной поверхности называется произведение главных кривизн.

- средняя кривизна поверхности

- Полная или гауссова кривизна поверхности

- корни квадратного уравнения - главной кривизны поверхности.

По теореме Виета

- средняя кривизна поверхности.

полная или гауссова кривизна поверхности

3. Асимптотические линии на поверхности

В гиперболической точке поверхности вводится понятие асимптотических направлений. Это направления асимптот индикатрисы Дюпена. Нормальная кривизна поверхности в этом направлении равна нулю.

Определение: Линия на поверхности называется асимптотической, если ее направление в каждой точке является асимптотическим.

Так как , то

(1) – уравнение асимптотической линии.

-решить это уравнение как квадратное относительно .

.

1)

Если .

В области эллиптических точек оба корня квадратного уравнения мнимы. Отсюда следует, что асимптотические линии не существуют в области эллиптических точек.

2) В области гиперболических точек.

Тогда уравнение (1) имеет два действительных и различных корня.

, - определяют два семейства асимптотических точек.

3) В области параболических точек.

Оба корня уравнения (1) совпадают между собой и действительны.

- из уравнения определятся одно семейство асимптотических линий.

(Оно образует со всяким другим семейством сопряженную сеть.)

4) В области точек уплощения.

Уравнение (1) удовлетворяется тождественно, и всякая линия в этой области асимптотическая.

Теорема: Координатные линии на поверхности совпадают с асимптотическими линиями тогда и только тогда, когда .

Доказательство: Если - линия асимптотическая (), то , то есть .

- линия асимптотическая (), .

Обратно, если , , так как , то либо ( линии), либо ( линии) , то есть . Координатные линии являются асимптотическими.

.

4. Поверхности постоянной гауссовой кривизны

1)

Плоскость – поверхность нулевой гауссовой кривизны. У нее нормальная кривизна по любому направлению равна нулю.

2)

Примером поверхности постоянной положительной кривизны является сфера. У нее (по любому направлению) где - радиус сферы. .

3)

Найдем поверхность постоянной отрицательной гауссовой кривизны. Примером поверхности постоянной отрицательной гауссовой кривизны является псевдосфера. Псевдосфера – поверхность вращения трактрисы вокруг асимптоты.

параметрическое уравнение псевдосферы

Вопросы для самопроверки

1. Какие направления на поверхности называются сопряженными?

2. Назовите необходимое и достаточное условие сопряженности координатной сети на поверхности?

3. Напишите уравнение линии кривизны.

4. Что называется средней кривизной поверхности?

5. Дайте определение полной кривизны поверхности.

6. Напишите формулы средней и полной кривизны поверхности через коэффициенты первой и второй квадратичной формы.

7. Дайте определение асимптотических линии на поверхности.

8. Назовите поверхности постоянной гауссовой кривизны.

В начало