Тема 1

Тема 1. Вектор-функция скалярного аргумента

Вопросы для рассмотрения:

1. Определение вектор-функции скалярного аргумента.

2. Предел переменного вектора.

3. Понятие непрерывности функции. Произодная вектора-функции.

1. Определение вектор-функции скалярного аргумента

Пусть дан интервал a < t < b.

Определение: Если всякому значению ставится в соответстие вектор , то говорят, что задана вектор-функция скалярного аргумента.

, .

Определение: Вектор-функция одного скалярного аргумента есть отображение некоторго подмножества дейстительных чисел на подмножество векторов .

Бесконечно-малый вектор

Определение: Переменный вектор назыается бесконечно малым, если его абсолютная величина стремится к нулю.

, .

Теоремы о бесконечно малых векторах

Теорема1: Сумма конечного числа бесконечно малых векторов есть бесконечно малый вектор.

Доказательство: Пусть заданы бесконечно малые векторы . По определению , где . Рассмотрим неравенство , каждое слагаемое в правой части неравенства стремится к нулю, , т.е. .

Теорема 2: Скалярное произедение двух векторов, из которых хотя бы один вектор бесконечно малый, а другой ограничен по абсолютной величине, есть бесконечно малое.

Доказательство: Рассмотрим векторы и , -бесконечно малый, -ограничен по абсолютной величине. ,.

=, .

Теорема 3: Произведение скалярной функции на вектор-функцию бесконечно мало, если хотя бы один из сомножителей будет бесконечно малым, а другой ограничен по абсолютной величине.

Теорема 4: Произведение двух векторов, из которых хотя бы один бесконечно малый, а другой ограничен по абсолютной величене есть величина бесконечно малая.

Теорема 5: Смешанное произведение трех векторов будет бесконечно мало, если хотя бы один бесконечно мало, если хотя бы один из сомножителей бесконечно малый, а две другие ограничены по абсолютной величине.

2. Предел переменного вектора

Определение: Вектор называется пределом вектора- функции , если разность будет бесконечно малым, при .

, - бесконечно малая, =, .

Вывод: Переменный вектор равен сумме своего предела и некоторого малого вектора.

Теоремы о пределах

Теорема 1: Предел суммы двух векторов равен сумме их пределов.

, , .

Теорема 2: Предел произведения скалярной функции на вектор-функцию равен произведению их пределов.

.

Теорема 3: Предел скалярного произведения двух векторов равен скалярному произведению их пределов.

.

Теорема 4: Предел векторного произедения двух векторов равен векторному произведению их пределов.

.

Теорема 5: Предел смешанного произведения трех векторов равен смешанному произведению их пределов.

.

3. Понятие непрерывности функции. Производная вектора-функции

Вектор может изменяться в зависимости от переменного скаляра.

Определение: Вектор-функция называется непрерывной при , если .

Определение: Производной вектор-функции , по её скалярному аргументу в т. называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента.

.

Правила дифференцирования вектор-функции

1.

Производная суммы векторов равна сумме производных слагаемых .

2.

.

3.

.

4., -скалярная функция.

5. .

Из правила 2 находим правило дифференцирования скаляра квадрата

.

6. Производная постоянного вектора равна нулю.

Нахождение координат производной вектора-функции

Пусть задан ортонормированный базис и вектор-функция скалярного аргумента , .

Применим к правой части правило дифференцирования суммы:

.

Координаты произодной равны координатам производных от соответствующих координат дифференцируемой вектор-функции.

Формула Тейлора

Пусть - дифференцируема n раз в промежутке

, при .

Лемма. Производная вектора функции постоянной длины перпендикулярна самому вектору.

, , , .

Вопросы для самопроверки:

1. Что называется вектор-функцией скалярного аргумента.

2. Определение бесконечного малого вектора.

3. Теоремы о бесконечно малых векторах.

4. Определение предела вектор-функции и теоремы о пределах.

5. Определение непрерывности вектор-функции.

6. Определение прозводной вектор-функции и теоремы о производных.

7. Сформулируйте и докажите правила дифференцирования вектор-функции скалярного аргумента.

8. Теорема о дифференцируемости координат вектор-функции скалярного аргумента.

9. Формула Тейлора для вектор-функции.

10. Лемма о производной вектора постоянной длины.

В начало