Тема 6

Тема 6. Кривизна и кручение кривой

Вопросы для рассмотрения:

1. Кривизна кривой линии.

2. Вычисление кривизны кривой при произвольной параметризации.

3. Кручение кривой.

4. Выражение для кручения кривой по натуральному параметру.

5. Формула кручения по произвольному параметру.

1. Кривизна кривой линии

Направление касательной изменяется при движении точки на кривой. Для того, чтобы измерить быстроту этого движения, возьмем касательную на концах дуги .

- некоторая близкая точка к .

Перенесем касательную из т. в т., угол . (см. рис.13)

Рисунок 13

Определение: Кривизной регулярной кривой в т. называется предел отношения угла поворота касательной к длине дуги , при .

Покажем, что (коэффициент Френе).

Рисунок 14

Пусть т. имеет параметр , т., касательный вектор в т., в т..

.(см. рис.14)

Так как эти векторы единичные, то треугольник образованный ими будет равнобедренным.

,

,

,

Теорема: Регулярная (дважды непрерывно-дифференцируемая) кривая имеет в каждой своей точке определенную кривизну.

2. Вычисление кривизны при произвольной параметризации.

Пусть задана кривая.

(1)

или

Обе части возведем в квадрат

(2)

из (1)

(3)

еще раз продифференцируем (3)

(4)

Возведем обе части в квадрат

- формула для вычиления кривизны кривой.

В декартовых координатах:

Если кривая плоская:

Если

или

3. Кручение кривой

Пусть задана кривая по натуральному параметру .

Определение: Абсолютным кручением регулярной кривой в т. называется предел отношения угла поворота бинормали на дуге стягивающейся в точку, к длине этой дуги, то есть . (см.рис.15)

Рисунок 15

Теорема: Регулярная (трижды непрерывно-дифференцируемая) кривая в каждой своей точке, где кривизна не равна нулю, имеет абсолютное кручение.

Абсолютное кручение равно абсолютной величине второго коэффициента из формулы Френе.

Доказательство:

.

4. Выражение для кручения кривой по натуральному параметру

, по формуле Френе.

Найдем третью производную по натуральному параметру:

(*)

Рассмотрим смешанное произведение:

(1)

(**)

(*), (**) (1)

,

- формула кручения по натуральному параметру.

Зная положение точек и можно построить соприкасающиеся плоскости. Из аналитической геометрии известно, угол между двумя плоскостями измеряется между углами векторов нормали.

А угол между соприкасающимися плоскостями определяется как угол между векторами бинормали.

При движении точки и точки соприкасающиеся плоскости тоже будут двигаться и поворачиваться на угол .

При вращении вокруг единичного вектора вектор будет поворачиваться кратчайшим путем до совпадения с против часовой стрелки, то абсолютное кручение положительно, в противоположном случае отрицательно.

5. Формула кручения по произвольному параметру

, продифференцируем это равенство 3 раза.

Найдем:

- формула для определения кручения по произвольному параметру.

Вопросы для самопроверки

1. Дайте определения кривизны кривой.

2. Напишите формулу для вычисления кривизны кривой.

3. Напишите формулу для вычисления кривизны плоской кривой.

4. Дайте определение кручения кривой.

5. Напишите формулу кручения по натуральному параметру.

6. Напишите формула кручения по произвольному параметру.

В начало