ТЕМА 3. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ГИПОТЕЗЫ И КРИТЕРИИ

Цель: Познакомить со схемами статистической проверки гипотез, выделением критериев и определения критической области.

План:

3.1. Основные понятия.

3.2. Критерии проверки. Критическая область.

3.3. Примеры проверки гипотез.

3.1. Основные понятия

Большинство эконометрических моделей требуют многократного улучшения и уточнения. Соответствующие расчеты обычно проводятся по схеме статистической проверки гипотез.

Во многих случаях необходимо знать закон распределения генеральной совокупности. Если он неизвестен, но есть основания предположить, что он имеет определенный вид (назовем его , выдвигают гипотезу: генеральная совокупность распределена по закону .

Возможен также случай, когда закон распределения известен, а его параметры неизвестны. Если есть основания предположить, что неизвестный параметр равен ожидаемому числу , выдвигают гипотезу: .

Статистической называют гипотезу о виде закона распределения или о параметрах известного распределения. В первом случае гипотеза называется непараметрической, а во втором – параметрической.

Гипотеза , подлежащая проверке, называется нулевой (основной). Наряду с нулевой рассматривают гипотезу , которая будет приниматься, если отклоняется . Такая гипотеза называется альтернативной (конкурирующей).

Гипотезу называют простой, если она содержит одно конкретное предложение.

Гипотезу называют сложной, если она состоит из конечного или бесконечного числа простых гипотез.

Сущность проверки статистической гипотезы заключается в том, чтобы установить, согласуются или нет данные наблюдений и выдвинутая гипотеза. Можно ли расхождение между гипотезой и результатом выборочных наблюдений отнести за счет случайной погрешности, обусловленной механизмом случайного отбора?

Эта задача решается с помощью специальных методов математической статистики – методов статистической проверки гипотез.

При проверке гипотезы выборочные данные могут противоречить гипотезе. Но тогда она отклоняется.

Если же статистические данные согласуются с выдвинутой гипотезой, то она не отклоняется.

Статистическая проверка гипотез на основании выборочных данных неизбежно связана с риском принятия ложного решения. При этом возможны ошибки двух родов.

Ошибка первого рода состоит в том, что будет отвергнута правильная нулевая гипотеза.

Ошибка второго рода состоит в том, что будет принята нулевая гипотеза в то время, как в действительности верна альтернативная гипотеза.

Вероятность совершить ошибку первого ряда принято обозначать буквой и ее называют уровнем значимости.

Вероятность совершить ошибку второго рода обозначают . Тогда вероятность не совершить ошибку второго рода называется мощностью критерия.

3.2. Критерии проверки. Критическая область.

Проверку статистической гипотезы осуществляют на основании данных выборки. Для этого используют специально подобранную СВ статистику, критерий, точное или приближенное значение которой известно. Эту величину обозначают:

(или ) – если она имеет стандартизированное нормальное распределение;

- если она распределена по закону Стьюдента;

- если она распределена по закону ;

- если она распределена по закону Фишера.

В целях общности будем обозначать такую (СВ) через (К).

Статистическим критерием называют (СВ) К, которая служит для проверки нулевой гипотезы.

Критической областью называют совокупность значений критерия, при которых нулевую гипотезу отклоняют.

Областью принятия гипотезы называют совокупность значения критерия, при которых нулевую гипотезу не отклоняют.

Основной принцип проверки статистических гипотез: Если необходимое значение критерия К (вычисленное по выборке) принадлежит критической области, то нулевую гипотезу отклоняют.

Если же наблюдаемое значение критерия (К) принадлежит области принятия гипотезы, то нулевую гипотезу не отклоняют (принимают).

Критическими называются точки, разделяющие критическую область и область принятия гипотезы.

В основу определения критических точек положен принцип практической невозможности маловероятных событий.

Пусть для проверки нулевой гипотезы служит критерий . Предположим, что плотность распределения вероятностей в случае справедливости гипотезы имеет вид , а математическое ожидание равно . Тогда вероятность того, что попадет в произвольный интервал , можно найти по формуле (4.1)

Зададим эту вероятность равной и вычислим критические точки (квантили) - распределения , из условий:

Следовательно,

Точки , являются критическими.

Критическая область называется двусторонней критической областью. Она определяется в случае, когда альтернативная гипотеза имеет вид: .

Правосторонней называют критическую область определяемую из соотношения .

Она используется в случае, когда альтернативная гипотеза имеет вид:

Левосторонней называют критическую область определяемую из соотношения .

Она используется в случае, когда альтернативная гипотеза имеет вид:

Общая схема проверки гипотез

1. Формулировка проверяемой (нулевой ) и альтернативной гипотез.

2. Выбор соответствующего уровня значимости .

3. Определение объема выборки .

4. Выбор критерия для проверки .

5. Определение критической области и области принятия гипотезы.

6. Вычисление наблюдаемого значения критерия .

7. Принятие статистического решения.

Литература: 11, с. 102-112;

Контрольные вопросы:

1. Что называется гипотезой?

2. В чем состоит ошибка первого рода?

3. Что такое уровень значимости?