ТЕМА 7: ВРЕМЕННЫЕ РЯДЫ И ПРОГНОЗИРОВАНИЕ

Цель: Познакомить с основными элементами временных рядов, автокорреляцией уровней временного ряда и выявлением его структуры, моделированием тенденций временного ряда, сезонных и циклических колебаний.

План:

8.1 Основные элементы временного ряда.

8.2 Автокорреляция уровней временного ряда и выявление его структуры.

8.3 Прогнозирование на основе временных рядов: моделирование тенденции временного ряда, сезонных и циклических колебаний.

8.1 Основные элементы временного ряда.

Эконометрическая модель строится с использованием двух типов исходных данных: данные, характеризующие совокупность различных объектов в определенный момент (период) времени; данные, характеризующие один объект за ряд последовательных моментов (периодов) времени. Модели, построенные по данным первого типа, называются пространственными моделями. Модели, построенные на основе второго типа данных, называются моделями временных рядов.

Временной ряд – совокупность значений какого-либо показателя за несколько последовательных моментов или периодов времени (в литературе используются синонимы этого термина – динамический ряд и ряд динамики).

При различных сочетаниях этих факторов в изучаемом явлении или процессе этих зависимость уровней ряда от времени может принимать различные формы: 1) Большинство временных рядов экономических показателей имеют тенденцию, характеризующую совокупное долговременное воздействие множества факторов на динамику изучаемого показателя (рис. 1а - временной ряд, содержащий возрастающую тенденцию; 2) Изучаемый показатель может быть подвержен циклическим колебаниям (рис. 1б); 3) Некоторые временные ряды не содержат тенденции и циклической компоненты, а каждый следующий их уровень образуется как сумма среднего уровня ряда и некоторой случайной компоненты (рис. 1в).

Реальные данные, чаще всего, содержат все три компоненты. Каждый их уровень формируется под воздействием тенденции, сезонных колебаний и случайной компоненты.

В большинстве случаев фактический уровень временного ряда можно представить как сумму или произведение трендовой, циклической и случайной компонент.

t t t

а) возрастающая б) сезонная в) случайная компонента

тенденция компонента

Рисунок 1 – Основные компоненты временного ряда

Модель, в которой временной ряд представлен как сумма перечисленных компонент, называется аддитивной моделью временного ряда.

Модель, в которой временной ряд представлен как произведение перечисленных компонент, называется мультипликативной моделью временного ряда.

Основная задача эконометрического исследования отдельного временного ряда – выявление и придание количественного выражения каждой из перечисленных выше компонент с тем, чтобы использовать полученную информацию для прогнозирования будущих значений ряда или при построении моделей взаимосвязи двух или более временных рядов.

8.2 Автокорреляция уровней временного ряда и выявление его структуры.

При наличии во временном ряде тенденции и циклических колебаний значения каждого последующего уровня ряда зависят от предыдущих. Корреляционную зависимость между последовательными уровнями временного ряда называют автокорреляцией уровней ряда.

Количественно ее можно измерить с помощью линейного коэффициента корреляции между уровнями исходного временного ряда и уровнями этого ряда, сдвинутыми на несколько шагов во времени. Формула для расчета коэффициента корреляции:

.

Коэффициент автокорреляции уровней первого порядка, который измеряет зависимость между соседними уровнями ряда t и t-1 (т.е. при лаге 1):

, где ,

Число периодов, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, называют лагом. С увеличением лага число пар значений, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, уменьшается. Для обеспечения статистической достоверности коэффициентов автокорреляции используется правило – максимальный лаг должен быть не больше .

Отмечают два важных свойства коэффициента автокорреляции: 1) коэффициент автокорреляции строится по аналогии с линейным коэффициентом корреляции и таким образом характеризует тесноту только линейной связи текущего и предыдущего уровней ряда. Поэтому по коэффициенту автокорреляции можно судить о наличии линейной (или близкой к линейной) тенденции. Для некоторых временных рядов, имеющих сильную нелинейную тенденцию, коэффициент автокорреляции уровней исходного ряда может приближаться к нулю; 2) по знаку коэффициента автокорреляции нельзя делать вывод о возрастающей или убывающей тенденции в уровнях ряда. Большинство временных рядов экономических данных содержит положительную автокорреляцию уровней, однако при этом могут иметь убывающую тенденцию.

Последовательность коэффициентов автокорреляции уровней первого, второго и т.д. порядков называют автокорреляционной функцией временного ряда. График зависимости ее значений от величины лага (порядка коэффициента автокорреляции) называется коррелограммой.

Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции первого порядка, исследуемый ряд содержит только тенденцию. Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции порядка , ряд содержит циклические колебания с периодичностью в моментов времени. Если ни один из коэффициентов автокорреляции не является значимым, можно сделать одно из двух предположений относительно структуры этого ряда: либо ряд не содержит тенденции и циклических колебаний и имеет структуру, сходную со структурой ряда, изображенного на рис. в, либо ряд содержит сильную нелинейную тенденцию, для выявления которой нужно провести дополнительный анализ. Поэтому коэффициент автокорреляции уровней и автокорреляционную функцию целесообразно использовать для выявления во временном ряде наличия или отсутствия трендовой компоненты (Т) и циклической (сезонной) компоненты (S).

8.3 Прогнозирование на основе временных рядов: моделирование тенденции временного ряда, сезонных и циклических колебаний.

# Моделирование тенденции временного ряда.

Одним из наиболее распространенных способов моделирования тенденции временного ряда является построение аналитической функции, характеризующей зависимость уровней ряда от времени, или тренда. Этот способ называют аналитическим выравниванием временного ряда.

Поскольку зависимость от времени может принимать разные формы, для ее формализации можно использовать различные виды функций: линейный тренд; гипербола; экспоненциальный тренд; тренд в форме степенной функции; парабола второго и более порядков.

Параметры каждого из перечисленных выше трендов можно определить обычным МНК, используя в качестве независимой переменной время , а в качестве зависимой переменной – фактические уровни временного ряда . Для нелинейных трендов предварительно проводят стандартную процедуру их линеаризации.

Существует несколько способов определения типа тенденции. К числу наиболее распространенных относятся: качественный анализ изучаемого процесса, построение и визуальный анализ графика зависимости уровней ряда от времени, расчет некоторых основных показателей динамики. В этих же целях можно использовать и коэффициенты автокорреляции уровней ряда. Тип тенденции можно определить путем сравнения коэффициентов автокорреляции первого порядка, рассчитанных по исходным и преобразованным уровням ряда. Если временной ряд имеет линейную тенденцию, то его соседние уровни и тесно коррелируют. В этом случае коэффициент автокорреляции первого порядка уровней исходного ряда должен быть высоким. Если временной ряд содержит нелинейную тенденцию, например, в форме экспоненты, то коэффициент автокорреляции первого порядка по логарифмам уровней исходного ряда будет выше, чем соответствующий коэффициент, рассчитанный по уровням ряда. Чем сильнее выражена нелинейная тенденция в изучаемом временном ряде, тем в большей степени будут различаться значения указанных коэффициентов.

# Моделирование сезонных и циклических колебаний

Существует несколько подходов к анализу структуры временных рядов, содержащих сезонные или циклические колебания. Простейший подход – расчет значений сезонной компоненты методом скользящей средней и построение аддитивной или мультипликативной модели временного ряда.

Общий вид аддитивной модели: . Эта модель предполагает, что каждый уровень временного ряда может быть представлен как сумма трендовой (Т), сезонной (S) и случайной (E) компонент.

Общий вид мультипликативной модели: . Эта модель предполагает, что каждый уровень временного ряда может быть представлен как произведение трендовой (Т), сезонной (S) и случайной (E) компонент.

Построение аддитивной и мультипликативной моделей сводятся к расчету значений Т, S и E для каждого уровня ряда.

Применение фиктивных переменных для моделирования сезонных колебаний

Одним из методов моделирования временного ряда, содержащего сезонные колебания, является построение модели регрессии с включением фактора времени и фиктивных переменных. Количество фиктивных переменных в такой модели должно быть на единицу меньше числа моментов (периодов) времени внутри одного цикла колебаний.

Пусть имеется временной ряд, содержащий циклические колебания периодичностью . Модель регрессии с фиктивными переменными для этого ряда будет иметь вид:

,

где

Основной недостаток модели с фиктивными переменными для описания сезонных и циклических колебаний – наличие большого количества переменных.

Литература: 1, с. 84-112; 2, с. 98-108; 3, с. 133-149; 4, с. 137-187;

6, с. 296-335; 7, с. 112-185; 8, с. 78-80

Контрольные вопросы:

1. С помощью, каких двух типов исходных данных строится эконометрическая модель?

2. Что называется временным рядом?

3. Какие может принимать формы зависимость уровней ряда от времени?

4. Как можно представить фактический уровень временного ряда?

5. Дайте определение аддитивной модели временного ряда.

6. Дайте определение мультипликативной модели временного ряда.

7. Какова основная задача эконометрического исследования отдельного временного ряда?

8. Что называется автокорреляцией уровней ряда?

9. Какова формула для расчета коэффициента корреляции.

10. Что называется лагом?

11. Какие существуют свойства коэффициента автокорреляции?

12. Что называется автокорреляционной функцией временного ряда?

13. Что называется коррелограммой?

# 14. Как осуществляется моделирование тенденции временного ряда?

15. Какие существуют способы определения типа тенденции?

16. Как осуществляется моделирование сезонных и циклических колебаний?

17. Укажите общий вид аддитивной модели.

18. Укажите общий вид мультипликативной модели.

19. Как осуществляется применение фиктивных переменных для моделирования сезонных колебаний?

20. Укажите основной недостаток модели с фиктивными переменными для описания сезонных и циклических колебаний?