ТЕМА 2. НАЧАЛЬНЫЕ ЭТАПЫ ЭКОНОМИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

Цель: Познакомить с основными видами рядов распределения и способами их построения, средними величинами и их свойствами, показателями вариации, моментами рядов распределения.

План:

2.1 Дискретные и интервальные ряды распределения и способы их построения

2.2 Средние величины и их свойства

2.3 Порядковые средние

2.4 Показатели вариации

2.5 Моменты рядов распределения

2.1 Дискретные и интервальные ряды распределения и способы их построения

Установление закономерностей, которым подчиняются массовые случайные явления, основано на изучении статистических данных – сведений о том, какие значения принял в результате наблюдений интересующий исследователя (или аналитика) признак.

Данные могут быть классифицированы как непрерывные и дискретные.

Вся подлежащая изучению совокупность однородных объектов называется генеральной совокупностью. Часть случайно отобранных объектов называется выборочной совокупностью или выборкой. Число объектов в генеральной совокупности или в выборке обычно называют их объемами. Обозначаются: N - для генеральной совокупности, n - для выборки.

Вариантой называют наблюдаемое значение признака и обозначается , а сам признак - Х.

Частота показывает, сколько раз встречалась варианта в яде наблюдений и обозначается . Сумма частот составляет объем выборки .

Дискретным вариационным рядом называется перечень, расположенных в порядке возрастания вариант и их соответствующих частот.

Ранжированием ряда наблюдений называют расположение значений признака в порядке возрастания (или убывания).

Частостью называют отношение частоты к общему числу наблюдений (): . Наряду с понятием частоты используется понятие накопленной частоты (). Накопленная частота показывает, сколько наблюдалось элементов со значением признака, меньшим или равным .

Отношение накопленной частоты к общему числу наблюдений называется накопленной частостью и обозначается :

Для построения интервального вариационного ряда используют формулу Стэрджеса: где: - соответственно максимальная и минимальная варианты; - длина интервала.

Наиболее широко используются следующие виды графического изображения вариационных рядов: полигон, гистограмма, кумулятивная кривая и огива.

Полигон , как правило, служит для изображения дискретного вариационного ряда. Для его построения в прямоугольной системе координат наносят точки с координатами (,), где - варианта, а - соответствующая ей частота. Иногда вместо точек (,) строят точки (,).

Гистограмма служит для изображения только интервального вариационного ряда. Гистограмма – это ступенчатая фигура, основаниями которой служат интервалы, а высотами соответствующие частоты. Иногда интервальный ряд изображают с помощью полигона. В этом случае интервалы заменяют их серединными значениями.

Кумулятивная кривая – кривая накопленных частот или накопленных частостей. По оси абсцисс откладывают варианты (), а по оси ординат - накопленные частоты или накопленные частости. Если вариационный ряд интервальный, то по оси абсцисс откладывают интервалы. Верхним границам интервалов соответствуют накопленные частоты (или накопленные частости); нижней границе первого интервала – накопленная частота равная нулю.

При перемене осей координат кумулятивная кривая называется огивой.

2.2 Средние и их свойства

Средние величины различают простые (для несгруппированных данных) и взвешенные (для сгруппированных), причем для последних «весами» являются частоты.

Различают следующие виды средних величин: средняя арифметическая, средняя квадратическая, средняя степенная , средняя геометрическая и др. (Таблица).

Выбор подходящего вида средней зависит, с одной стороны, от природы данных, а с другой – от того, как этот показатель будут использовать.

Свойства средних:

1. Если варианты увеличить (или уменьшить) в одно и тоже число раз, то средняя арифметическая увеличится (или уменьшится) во столько же раз.

2. Если варианты увеличить (или уменьшить) на одно и тоже число, то средняя арифметическая увеличится (или уменьшится) на то же число.

3. Если частоты ряда увеличить (или уменьшить) в одно и тоже число, то средняя арифметическая не изменится.

2.3 Порядковые средние

К порядковым (или структурным) средним относятся мода и медиана.

Медианой () называется значение признака, приходящееся на средину ранжированного ряда наблюдений. При нечетном числе наблюдений в дискретном вариационном ряде медиана находится по определению. Если число наблюдений четно, т.е. , тогда за медиану принимают среднюю арифметическую значений и , т.е. =.

Медиана для интервального вариационного ряда определяется по формуле: .

Модой () называется значение варианты с наибольшей частотой. Для дискретного вариационного ряда мода находится по определению.

Для интервального вариационного ряда она находится по формуле: .

2.4 Показатели вариации

Средние величины, характеризуя вариационный ряд одним числом, не отражают изменчивости наблюдавшихся значений признака, т.е. вариацию.

Простейшим показателем вариации является вариационный размах (R), равный разности между наибольшим и наименьшим вариантами, т.е.:

Наибольший интерес представляют меры рассеяния наблюдений вокруг средних величин.

Среднее линейное отклонение (d)

Дисперсия широко применяется в финансовых расчетах как мера риска и неопределенности. Дисперсия выражается в квадратах единиц, находящихся в основании расчета, что делает ее интерпретацию довольно затруднительной. Эту проблему можно преодолеть извлекая корень квадратный из дисперсии и получая таким образом средне квадратическое отклонение :

Среднее квадратическое отклонение выражается в единицах измерения, лежащих в основе расчета. Таким образом при сравнении степени вариации переменных должны быть учтены различия в величине этих переменных.

Для характеристики того насколько средняя арифметическая хорошо представляет

2.5 Моменты рядов распределения

Средняя арифметическая и дисперсия вариационного ряда являются частными случаями более общего понятия о моментах вариационного ряда. Различают: начальный момент порядка q () и центральный момент ().

С помощью центральных моментов 3 и 4 рассчитывают коэффициенты асимметрии и эксцесс.

Коэффициент асимметрии показывает скошенность (асимметрию) данных: .

Свойства коэффициента асимметрии: >0 ряд несимметричный с правосторонней асимметрией; <0 ряд несимметричный с правосторонней асимметрией; =0 ряд симметричный

В то время как показывает ассиметрии характеризуют симметричность распределения растет, показатели эксцесса показывают пиковость этого распределения

Свойства эксцесса:>0 распределение островершинное; <0 распределение плосковершинное; =0 распределение средневершинное соответствующее нормальное.

Литература: 2, с. 110-117; 3, с. 24-50; 6, с. 23-43; 7, с. 25-40, 83-111;

8, с. 20-35; 11, с. 45-60; 13, с. 25-34; 14, с. 31-39; 17

Контрольные вопросы:

1. Что называется генеральной совокупностью?

2. Что называется выборкой?

3. Что такое варианта и частота?

4. Чему равен объем выборки?

5. Что называется дискретным вариационным рядом?

6. Что означает ранжирование ряда?

7. Чему равна накопленная частость?

8. Для чего используют формулу Стэрджеса?

9. Дайте определение гистограмме, кумулятивной кривой.

10. Запишите формулу средней арифметической (простой и взвешенной).

11. Запишите формулу средней квадратической (простой и взвешенной).

12. Запишите формулу средней степенной (простой и взвешенной).

13. Запишите формулу средней геометрической (простой и взвешенной).

14. Перечислите свойства средних.

15. Дайте определение медианы.

16. Дайте определение моды.

17. Какие существуют показатели вариации?

18. Перечислите моменты рядов распределения.