ТЕМА 4

ТЕМА 4. ВЗАИМОСВЯЗИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН В ЭКОНОМИКЕ

Цель: Рассмотреть соотношения между экономическими переменными. Познакомить с линейными и нелинейными связями, корреляцией и ковариацией, корреляционными отношениями.

План:

4.1 Соотношения между экономическими переменными

4.2 Линейная связь. Корреляция и ковариация

4.3 Нелинейная связь. Корреляционное отношение. Индекс корреляции

4.1 Соотношения между экономическими переменными

Связи между различными явлениями в природе сложны и многообразны, однако, их можно определенным образом классифицировать. В технике и естествознании часто идет речь о функциональной зависимости между переменными х и у, когда каждому возможному значению х поставлено в однозначное соответствие определенное значение у.

В тех случаях, когда связь теряет свою строгую функциональность и изучаемая физическая система переходит не в определенное состояние, а в одно из возможных для нее состояний, - речь идет о стохастической связи. Связь называется стохастической, если при изменении случайной величины Х меняется закон распределения величины Y.

Возникновение понятия статистической связи обуславливается тем, что зависимая переменная подвержена влиянию ряда неконтролируемых или неучтенных факторов, а также тем, что измерение значений переменных неизбежно сопровождается некоторыми случайными ошибками.

Если каждому значению величины Х соответствует определенное условное математическое ожидание (среднее значение) другой – Y, то такая статистическая зависимость называется корреляционной.

Корреляционная зависимость характеризуется формой и теснотой связи. Определить форму связи – это значит выявить механизм получения зависимой случайной переменной. При изучении статистических зависимостей форму связи можно охарактеризовать функцией регрессии. Под регрессией понимается функциональная зависимость между объясняющими переменными и условным математическим ожиданием (средним значением) зависимой переменной, которая строится с целью предсказания (прогнозирования) этого среднего значения при фиксированных значениях первых. Зависимую переменную Y называют также функцией отклика, объясняемой, выходной, результирующей, эндогенной переменной, результативным признаком, а независимую переменную Х - объясняющей, входной, предсказывающей, предикторной, экзогенной переменной, фактором, регрессором, факторным признаком. Различают линейные и нелинейные виды связей. Связь является линейной, если она представлена зависимостью между Х и Y: y=a+bx или y=a₀+a₁x₁+a₂x₂+…+a_nx_n. В остальных случаях – она нелинейная.

4.2 Линейная связь. Корреляция и ковариация

Изображение статистической зависимости графически точками на координатной плоскости называется полем корреляции.

По расположению эмпирических точек можно предполагать наличие линейной корреляционной (регрессионной) зависимости между Х и Y.

В финансовой и других областях встречается много ситуаций, когда важно знать, как две переменные ведут себя по отношению друг к другу, т.е. определяется наличие ковариации.

Если значение переменной Х растет (падает) в то же время, когда растет (падает) значение переменной Y, ковариация будет положительной. Однако, если с увеличением значения Х значение переменной Y уменьшается, то ковариация будет отрицательной. Если же не существует определенной модели связи между Х и Y, тогда, ковариация равна нулю.

Формула для вычисления ковариации:

Величина ковариации зависит от величин наблюдений Х и Y. Значительная ковариация может быть вызвана, в большей степени, высокими значениями наблюдений, чем близкой связью между переменными.

Образование знака ковариации.

1 шаг – Нанести точки на координатную 2 шаг – Провести две дополнительные

плоскость прямые ,

Поскольку отрицательное число при умножении на положительное (или наоборот) дает отрицательную величину, то вклад наблюдений в квадрантах A и D будет отрицательным. Аналогично в B и C – положительным. Если точки данных равномерно рассеяны по всем квадрантам, то ковариация равна нулю.

Наиболее широко используемым показателем степени связи между двумя переменными является коэффициент корреляции. Данный показатель не зависит от единиц измерения, характеризует силу и направление связи между переменными. И, при его использовании, преодолевается недостаток ковариации, так как величина коэффициента корреляции не находится под влиянием значений наблюдений.

Формула коэффициента корреляции:

Если >0, то корреляционная связь между переменными называется прямой, если <0– обратной. При прямой (обратной) связи увеличение одной из переменных ведет к увеличению (уменьшению) условной (групповой) средней другой переменной.

Выборочный коэффициент корреляции (при достаточно большом объеме выборки n) так же, как и коэффициент двух случайных величин обладает следующими свойствами:

1. Коэффициент корреляции принимает значения на отрезке [-1;1], т.е. -1≤≤1. Чем ближе || к единице, тем теснее связь.

2. При =±1 корреляционная связь представляет линейную функциональную зависимость. При этом, все наблюдаемые значения располагаются на прямой линии.

3. При =0 линейная корреляционная связь отсутствует. При этом линия регрессии параллельна оси ОХ.

4.3 Нелинейная связь. Корреляционное отношение. Индекс корреляции

Тесноту связи удобно оценивать в единицах общей дисперсии . Эта величина обозначается через и называется теоретическим корреляционным отношением:

=1-.

Значение находится всегда между 0 и 1. Коэффициент корреляции является частным случаем теоретического эмпирического отношения, когда связь между переменными линейна.

При нелинейной форме связи определяется индекс корреляции :