ТЕМА 8: ДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ

Цель: Познакомить с общей характеристикой и интерпретацией параметров моделей с распределенным лагом, моделями адаптивных ожиданий и неполной корректировки, оценкой параметров моделей авторегрессии.

План:

9.1 Общая характеристика и интерпретация параметров моделей с распределенным лагом.

9.2 Модели адаптивных ожиданий и неполной корректировки

9.3 Оценка параметров моделей авторегрессии.

9.4 Новые направления в анализе многомерных временных рядов.

9.1 Общая характеристика и интерпретация параметров моделей с распределенным лагом.

Для оценки лаговой структуры зависимости было разработано несколько подходов, позволяющих ограничить число объясняющих переменных в уравнении регрессии с целью избежать появления проблемы мультиколлинеарности или минимизировать её эффект.

Рассмотрим два широко известных подхода: Койка и Алмон.

В распределении Койка делается простое предположение, что коэффициенты («веса») при лаговых значениях объясняющей переменной убывают в геометрической прогрессии. Если имеется единственная объясняющая переменная, то модель принимает вид:

_,

,

где значение δ находится в границах от —1 до 1. Во многих приложениях предполагается, что оно лежит между 0 и 1. В данной зависимости имеются всего три параметра: а, β и δ.

Рассмотрим все значения 0,00, 0,01, 0,02 и т. д., увеличивая их каждый раз на 0,01. Чем меньше шаг, тем более точными будут полученные результаты, но тем больше времени займут расчеты. Теперь, когда компьютеры стали такими мощными и дешевыми, можно достичь любой желаемой точности. Для каждого значения δ рассчитывается:

с таким значением p, при котором дальнейшие лаговые значения х не оказывают существенного воздействия на z. Затем оценивается уравнение регрессии:

Эти расчеты проводятся для всех значений δ и выбирается такое значение δ, которое обеспечивает наибольший коэффициент R² при оценке уравнения. В качестве оценок а и β выбираются их оценки в этом уравнении.

Другой метод использует так называемое преобразование Койка. Если выражение выполняется для периода t, то оно также выполняется для периода t-1:

Умножив обе части этого уравнения на δ и, вычтя их из уравнения получим:

где уже отсутствуют лаговые значения х. Как следствие имеем:

Эта форма позволяет анализировать кратко- и долгосрочные динамически свойства модели. В краткосрочном аспекте(в текущем периоде) значение y_t-1 нужно рассматривать как фиксированное, и воздействие x на y отражается коэффициентом β. В долгосрочном периоде (не учитывая случайный член), если x_t, стремится к некоторому своему равновесному значению также будут стремиться к равновесному уровню определяемому как

из которого следует:

Распределение Койка основывается на ограничивающем предположении, что коэффициенты при лаговых объясняющих переменных убывают в геометрической прогрессии. Для многих исследований это предположение вполне удовлетворительно, но для других оно малореалистично. Например, в некоторых случаях более уместно предположить, что изменение зависимой переменной в ответ на изменение объясняющей переменной сначала невелико, затем возрастает со временем, а потом снова уменьшается. Распределенные лаги Алмон (Almon, 1965) обладают достаточной гибкостью для моделирования поведения такого рода, используя при этом минимальное число параметров.

В основе модели лежит предположение о том, что если у зависит от текущих и лаговых значений х, то веса в этой зависимости подчиняются полиномиальному распределению. По этой причине лаги Алмон также часто описываются как полиномиально распределенные лаги. Приведем простые примеры, когда значения весов подчиняются квадратичной зависимости кубической функции или полиному более высокой степени. Выбор функции остается за исследователем, и он, конечно, может быть сделан на основе экспериментов

m=2

В общем случае модель регрессии может быть записана как

где

Далее исследователь должен выбрать число лаговых значений объясняющей переменной п, которое будет использоваться в модели. И снова это число может быть определено в результате экспериментов, направленных на получение хорошего описания, имеющихся данных.

m=3

На практике распределение лагов объясняющей переменной может не соответствовать простой функции, и попытки их применения могут привести к нежелательным результатам: получение весов с неверными знаками, резкое уменьшение весов на краю распределения и т. д. Все эти проблемы в принципе можно преодолеть, используя полиномы более высокой степени: сама Ш. Алмон в своей статье использовала полином четвертой степени, получив вполне удовлетворительные результаты. Однако с ростом степени полиномов вновь возникает риск появления неучтенной мультиколлинеарности. Число переменных z равно числу слагаемых в полиноме, и переменные z коррелируют друг с другом, поскольку каждая из них является линейной комбинацией текущего и лаговых значений х.

9.2 Модели адаптивных ожиданий и неполной корректировки.

Моделирование ожиданий часто становится наиболее ответственной и сложной задачей в прикладной экономике. Это особенно верно для макроэкономики, где инвестиции, сбережения и спрос на активы оказываются чувствительными к ожиданиям относительно будущего. Вводные учебники по макроэкономике, анализируя базовую модель определения доходов (модель IS-LM), рассматривают валовые инвестиции как заданные или по крайней мере как строго убывающую функцию от нормы процента. В итоге остается такая проблема, как исследование воздействия роста государственных расходов на валовой объем производства в рамках предположения о том, что валовые инвестиции реагируют только на норму процента. Однако последнее неверно. Если государство проводит стимулирующую политику, то это оказывает воздействие на ожидания бизнесменов как относительно общего состояния экономики в будущем, так и относительно уровня прибыльности, которые определяют их планы независимо от того, что происходит с нормой процента.

Так, например, если в стране наблюдается существенная безработица, то действия правительства могут рассматриваться как позитивные, и это стимулирует инвестиции. С другой стороны, если экономика близка к состоянию полной занятости, то та же самая государственная политика может рассматриваться как ведущая к росту уровня инфляции и это вызовет снижение доверия бизнесменов и падение инвестиционной активности.

К сожалению, в настоящее время отсутствуют удовлетворительные методы измерения ожиданий для решения макроэкономических задач. Как следствие, макроэкономические модели не позволяют получать достаточно точные прогнозы, что затрудняет управление экономикой.

В качестве паллиатива решения описанной проблемы в некоторых моделях используется косвенный метод, известный как «процесс адаптивных ожиданий». Этот процесс заключается в простой процедуре корректировки ожиданий, когда в каждый период времени реальное значение переменной сравнивается с ее ожидаемым значением. Если реальное значение оказывается больше, то значение, ожидаемое в следующем периоде, корректируется в сторону его повышения, если меньше — то в сторону уменьшения. Предполагается, что размер корректировки пропорционален разности между реальным и ожидаемым значениями переменной.

Модель адаптивных ожиданий сводится к утверждению, что ожидаемое значение переменной является взвешенным средним ее прошлых значений с геометрически убывающими весами. Записывается выражением:

откуда видно, что значение у определяется текущим и прошлыми значениями х с лагами, подчиняющимися распределению Койка.

9.3 Оценка параметров моделей авторегрессии.

При анализе временных рядов часто приходится учитывать статистическую зависимость наблюдений в разные моменты времени. Рассмотрим модель

,

где t-я компонента вектора Y представляет значение зависимой переменной в момент времени t, t=1,…n. Запишем подробнее уравнение для наблюдения в момент времени t:

Один из наиболее простых способов учёта коррелированности ошибок (в разные моменты времени) состоит в предположении, что случайная последовательность

образует авторегрессионный процесс первого порядка. Это означает, что ошибки удовлетворяют рекуррентному соотношению:

,

где - последовательность независимых нормально распределенных случайных величин с нулевым средним и постоянной дисперсией , а - некоторый параметр, называемый коэффициентом авторегрессии ().

9.4 Новые направления в анализе многомерных временных рядов.

Небольшая, но влиятельная группа исследователей затратила огромные усилия, оценивая лаговую структуру модели с помощью небольшого числа параметров. Этот подход известен под названием «анализ временных рядов» или «метод Бокса – Дженкинса».

В стандартной модели с одной переменной искомое соотношение выводится только из текущего и лаговых значений зависимой переменной. Сначала для временного ряда рассчитывается первая разность или разность более высокого порядка для того, чтобы сделать его «стационарным», т.е. убрать тренд или другие свойства, которые делают распределение любого наблюдения зависящим от времени. После этого оценивается следующее уравнение регрессии:

,

где - рассчитанные разности переменной y в период (t-s);- независимо распределенные случайные члены с нулевым средним и постоянной дисперсией. Из уравнения видно, что оно совершенно не опирается на экономическую теорию. Это, однако, не означает, что оно несовместимо с экономической теорией. Единственное, чем может помочь экономическая информация, - это определить параметры p и k, выбор значений которых остаётся за исследователем.

Литература: 3, с. 191-222; 6, с. 454-495; 15, с. 124-138

Контрольные вопросы:

1. Приведите примеры экономических задач, эконометрическое моделирование которых требует применения моделей с распределенным лагом и моделей авторегрессии.

2. В чем сущность метода Алмон? При какой структуре лага его используют?

3. Опишите методику применения подхода Койка для построения модели с распределенным лагом. При какой структуре лага его используют?

4. Изложите методику применения метода главных компонент для построения модели с распределенным лагом.

5. В чем сущность модели адаптивных ожиданий? Какова методика оценки ее параметров?

6. В чем сущность модели неполной корректировки? Какова методика оценки ее параметров?

7. Каковы новые направления в анализе многомерных временных рядов?