3.7.Непрерывность функции.

#### Определение непрерывности функции. Точки разрывы.

Определение: Функция называется непрерывной в точке , если она определена в некоторой окрестности этой точки и

Функция называется непрерывной слева (справа) в точке , если ().

Функция называется непрерывной на интервале, если она непрерывна к каждой точке этого интервала; непрерывной на отрезке , если она непрерывна на интервале , непрерывна справа в точке и непрерывна слева в точке ()

Точки, в которых функция не является непрерывной, называется точками разрыва. Если функция в точке имеет конечный предел (двусторонний предел), но этот предел отличен от значения функции в этой точке (или точка не входит в область определения функции), то точка называется устранимой точкой разрыва. Если функция в точке имеет конечные односторонние пределы, то они не совпадают (тогда двусторонний предел не существует), то называется точкой разрыва 1-го рода. Если функция в точке не имеет хотя бы одного конечного одностороннего предела, то точка называется точкой разрыва 2-рода.

#### Свойства непрерывных функции

1) если функции и непрерывны в точке , то функции и (при условии, что), также непрерывны в этой точке;

2) если функция непрерывна в точке и функция непрерывна в точке , то сложная функция также непрерывна в точке .

3) элементарные функции непрерывны в области их определения;

4) теорема Вейерштрасса: если функция непрерывна на отрезке, то она на этом отрезке достигает своих наименьшего и наибольшего значений;

5) теорема Больцано-Коши: пусть функция определена и непрерывна на отрезке и на концах этого промежутка принимает значения разных знаков; тогда найдется точка , в которой функция равна нулю;

Экономическая интерпретация непрерывности. Большинство функций, используемых в экономике, являются непрерывными и это позволяет высказать вполне значимые утверждения экономического содержания.

1. Налоговая ставка имеет примерно такой график, как на рис.1. а)

На концах промежутках она разрывна и разрывны эти 1-го рода. Однако сама величина подоходного налога P (рис.1. б) является непрерывной функцией годового дохода Q. Отсюда, в частности, вытекает, что если годовые доходы двух людей отличаются незначительно, то и различия в величинах подоходного налога, которые они должны уплатить, также не должны быть большие. Интересно, что это обстоятельство воспринимается огромным большинством людей как совершенно естественное, над которым они даже не задумываются. Вот если бы это было не так.… Когда это не так, т.е. когда результат не непрерывно зависит от начальных данных, от параметров, характеризующих задачу (ситуацию), то такая задача (ситуация) называется некорректной.

2. По своему смыслу такие функции, как функция спроса , функция предложения , непрерывно зависят от . Значит, при малых колебаниях цен спрос и предложения также изменяются незначительно. При более глубоком анализе обнаруживаются, однако, чисто психологические причины, по которым спрос, например, может измениться скачкообразно. Например, так бывает при «пробитии» круглой цены. Цена растет, растет, но люди терпят и спрос уменьшается незначительно. И вот цена замерла около круглой цифры. Когда цена, наконец превысит эту круглую цифру, может произойти скачкообразное уменьшение спроса.