1.1.Начальные сведения о векторах.

Для того чтобы ввести понятие вектора, рассмотрим задачу.

Задача: Некоторый автомобильный завод должен выпустить в смену 50 легковых автомобилей, 100 грузовых, 25 автобусов. Как записать производственную программу этого завода?

Определение: Вектором называется упорядоченный набор чисел. Числа в векторе с учетом их расположения по номеру в наборе называются компонентами вектора.. То производственную программу завода рассматриваемой выше задачи можно записать в виде вектора Р=(50, 100, 25), имеющего три компонента. Векторы обозначают жирными строчными буквами или буквами с чертой или стрелкой наверху, например, a или `a. Два вектора называются равными, если они имеют одинаковое число компонент и их соответствующие компоненты равны.

Компоненты вектора нельзя менять местами, например, (50, 100, 25) ¹
¹ (100, 25, 50).

Число компонент вектора называется его размерностью. Следовательно, - трехмерный вектор. Произвольный трехмерный вектор можно обозначить или кратко .

Произвольный четырехмерный вектор можно обозначить , и если какое-нибудь натуральное число, то обозначает произвольный мерный вектор.

Векторы бывают двух видов - векторы-строки и векторы-столбцы. Векторы-строки записываются в виде упорядоченной строки, векторы-столбцы записываются в виде упорядоченного столбца (нумерация компонент вектора-столбца идет сверху), например .

#### Действия с векторами.

Любой вектор можно умножить на любое число. Для этого каждая компонента вектора умножается на это число и эти произведения образуют вектор результат.

Умножим вектор на 3. получим вектор . Его естественно обозначить .

Любые два вектора одной размерности можно сложить. Для этого складываются первые компоненты, затем вторые и т.д. Эти суммы образуют вектор результат.

Сложим вектор и . Получим вектор .

Замечание: Векторы разной размерности складывать нельзя.

Операции умножения вектора на число и сложения векторов обладают следующими свойствами:

1) сложение векторов ассоциативно, т.е. -это свойство позволяет складывать любое конечное число векторов.

2) сложение векторов распределительно по отношению к умножению на число, т.е.

Определение: Два вектора называются равными, если они равны покомпонентно, т.е. если равны их первые компоненты, вторые и т.д. Итак, если , , то , если и только если .

Иногда вектор удобно записывать так: , где обозначает произвольную компоненту вектора .

Векторы-строки и векторы-столбцы одинаковой размерности связаны операцией транспонирования. Она превращает вектор-строку и, наоборот, вектор-столбец в вектор-строку. Эта операция обозначается верхним индексом . Пусть , тогда ; пусть , тогда . Операция транспонирования, осуществленная последовательно дважды, дает исходный вектор: , каков бы ни был вектор - строка или столбец.

Скалярное произведение векторов. Пусть , - векторы одинаковой размерности, тогда число называется скалярным произведением векторов и обозначается .

#### Свойства скалярного произведения:

1) ;

2) ;

и

Пример 1.2. Найдите угол между векторами a = 2m+4n и b = m-n, где m и n - единичные векторы и угол между m и n равен 120о.

Решение. Имеем: cos j = ab/ab, ab = (2m+4n) (m-n) = 2 m2 - 4n2 +2mn =
= 2 - 4+2cos120o = - 2 + 2(-0.5) = -3; a = ; a2 = (2m+4n) (2m+4n) =
= 4 m2 +16mn+16 n2 = 4+16(-0.5)+16=12, значит a = . b = ; b2 =
= (m-n)(m-n) = m2 -2mn+ n2 = 1-2(-0.5)+1 = 3, значит b = . Окончательно имеем: cos j == -1/2, Þ j = 120o.