5.7.Понятие о дифференциальных уравнениях высших порядков (дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.)

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение :

рo(x)y(n)(x) + р1(x)y(n- 1)(x) +... + рn - 1(x)y¢(x) + рn(x)y(x) = f(x), (4)

где рo(x), р1(x),..., рn(x), f(x) - данные функции. Если f(x) º 0, то уравнение (2) называется однородным, в противном случае - неоднородным. Общее решение уравнения 2) есть сумма какого-либо его частного решения y(x) и общего решения соответствующего однородного уравнения:

рo(x)y(n)(x) + р1(x)y(n- 1)(x) +... + рn - 1(x)y¢(x) + рn(x)y(x) = 0. (5)

Если коэффициенты рo(x), р1(x),..., рn(x) постоянные, то уравнение (2) принимает вид:

рoy(n)(x) + р1y(n- 1)(x) +... + рn - 1y¢(x) + рny(x) = f(x) (6)

и называется линейным дифференциальным уравнением порядка n с постоянными коэффициентами.

Соответствующее уравнению (6) однородное уравнение выглядит так:

рoy(n)(x) + р1y(n- 1)(x) +... + рn - 1y¢(x) + рny(x) = 0. (7)

Без ограничения общности можно положить рo = 1 и записать уравнение (7) в виде

y(n)(x) + р1y(n- 1)(x) +... + рn - 1y¢(x) + рny(x) = 0. (8)

Решение уравнения (9.6) будем искать в виде y = e kx, где k - постоянная. Имеем: y¢ = ke kx, y¢¢ = k2 e kx,..., y(n) = kn e kx. Подставляя полученные выражения в (8), будем иметь:

e kx (kn + р1kn-1 +... + рn-1k + рn) = 0.

Т.к. e kx ¹ 0, то

kn + р1kn-1 +... + рn-1k + рn = 0. (9)

Равенство (9) есть алгебраическое уравнение с неизвестным k. Оно называется характеристическим уравнением для дифференциального уравнения (8). Характеристическое уравнение есть уравнение n-й степени, следовательно, оно имеет n корней, среди которых могут быть кратные и комплексные. Если k1, k2,..., kn - действительные и различные корни уравнения (9), то - частные решения уравнения (9), а общее имеет вид

y = .

Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:

y¢¢ + рy¢ +qy = 0. (10)

Его характеристическое уравнение имеет вид

k2 + рk + q=0 (11)

и в зависимости от значения дискриминанта D = р2 - 4q возможны три случая.

1. Если D>0, то корни k1 и k2 уравнения (11) действительны и различны, тогда общее решение имеет вид:

y = c1 ex р(k1x) + c2 ex р(k2x).

2. Если D = 0, т.е. корни k1 и k2 действительные и равные, то общее решение находится по формуле:

y = (c1 + c2x) exр (k1x).

3. Если D<0, то корни комплексные, k1 = a + b i, k2 = a - b i, где i - мнимая единица. Тогда общее решение таково:

y = (c1 cos b x+c2 sin b x) exр (a x).

Пример Решить уравнение y¢¢ - y = 0.

Решение. Характеристическое уравнение имеет вид k2 - 1 = 0, корни которого k1 = 1, k2 = -1 действительны и различны. Общее решение:

y = c1e x + c2e -x.

Пример . Найти общее решение уравнения y¢¢- 4y¢ + 4y = 0.

Решение. Характеристическое уравнение запишется в виде:
k2 -4k +4 = 0 или (k - 2)2 = 0, т.е. имеет равные корни k1= k2 =2, значит, общее решение данного уравнения находится по формуле:

y = e2x(c1+c2x).

Пример Найти общее решение уравнения y¢¢+9y = 0.

Решение. Имеем следующее уравнение для нахождения k: k2+9 = 0, откуда k = ±3i, Þ a = 0, b = 3, значит, общее решение имеет вид:

y = c1 cos 3x + c2 sin 3x.

Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка находят применение при изучении, например, экономической модели паутинообразного типа с запасами товаров, в которой скорость изменения цены P зависит от величины запаса (см. о паутинообразной модели). Если спрос и предложение являются линейными функциями цены, то есть

D = a +aP, S =b+bP,

а l есть постоянная, определяющая скорость реакции (то есть изменения цены при изменении запасов товара), то процесс изменения цены описывается дифференциальным уравнением:

+ l (b - a) P = l (a - b).

В качестве частного решения можно взять постоянную

P =`P = (a - b)/(b - a),

имеющую смысл цены равновесия. Отклонение р = P -`P удовлетворяет тогда однородному уравнению

+ l (b - a) р = 0. (9.10)

Найдем общее решение этого уравнения. Характеристическое уравнение, в котором неизвестная обозначена через k, будет следующее:

k2 + l (b - a) = 0.

В обычном случае (a<0, b>0, l>0) член l (b - a) положителен. Введем обозначение w =. Тогда корни характеристического уравнения будут k 1,2 = ± i w. Следовательно, общее решение уравнения (9.10) имеет вид:

р = C cos (w t-e),

где C и e представляют собой произвольные постоянные, которые определяются единственным образом, если заданы начальные условия. Следовательно, присоединив `P, получим закон изменения цены во времени:

P = `P+ C cos (w t-e).