3.11.Дифференциал функции.

Для дифференцируемой функции ее приращение можно записать в виде

(1)

где -б.м.ф. при .

Дифференциалом или функции в точке называется главная, линейная относительно часть приращения функции в этой точке:

(2)

Приращение аргумента обозначает также , тогда формулу (2) можно записать в виде . Из этого равенства видно, что производную можно рассматривать как отношение дифференциала функции к дифференциалу аргумента .

Если в формуле (1) отбросить второстепенное слагаемое , то получим приближенное равенство или , используемое в приближенных вычислениях и для линеаризации сложных зависимостей.

Пусть - произвольная функция. Предположим, что она имеет в точке производную. Тогда, как уже указывалось, имеет место приближенное равенство , и это равенство тем точнее, чем ближе к . Таким образом, в малом всегда можно произвольную функцию, какую угодно сложную, приближенно заменить линейной функцией. Такой подход называется линеаризацией функции .

Графически такой подход выглядит как замена графика функции касательной, проведенной к графику в точке .

Дифференциал функции является функцией того же аргумента. Дифференциал этой функции называется дифференциалом 2-го порядка исходной функции дифференциал последней функции называется дифференциалом 3-го порядка и т.д. Нетрудно убедиться в том, что , где есть просто .