4.7.Дифференцируемость функции многих переменных.

Пусть - функция трех переменных.

Произведение частной производной на приращение называется частным дифференциалом по х функции , его обозначают . Если приращение независимой х считать ее дифференциалом , то последняя формула будет записана так: .

Если, исходя из значений переменных придать этим переменным приращения , то функций получит приращение которое называется полным приращением функции.

Определение: Функция называется дифференцируемой в точке (), если ее полное приращение в этой точке можно представить в виде , где (т.е. есть длина вектора ()- приращения вектора-аргумента) или кратко

(4.7.1)

Если функция дифференцируема в точке (), то линейная часть ее приращения в этой точке, т.е. , называется дифференциалом (полным) Функции в этой точке и обозначается или .

Легко видеть, что полный дифференциал (есть он существует) есть сумма частных дифференциалов.