1.5.Технологическая матрица и задача оптимального планирования.

Рассмотрим пример: Пусть предприятие из видов ресурсов производит видов продукции. Предположим, что для производства одной единицы (ед.)-го вида продукции расходуется ед. -го вида ресурса, т.е. -норма расхода -го ресурса на производство -й продукции.

Матрица , составленная из норм расхода, называется матрицей норм расхода. Технологической же ее называют вот почему. Рассмотрим какой-нибудь, например - й, столбец этой матрицы. Этот столбец полностью описывает расход ресурсов на производство 1 ед. - й продукции. Говоря абстрактно, для получения 1 ед. -й продукции надо «смешать» ед. 1-го ресурса, ед. 2-го и т.д. Такое «смешивание» вполне правильно назвать технологией переработки ресурсов. Таким образом, -й столбец матрицы описывает -ю технологию переработки ресурсов. Всего предприятие располагает технологиями. Остановимся теперь на содержательном смысле строк матрицы норм расхода (или технологической). Как легко видеть, элементы -й строки описывают расход -го ресурса на единицу каждой продукции или при единичной интенсивности каждой технологии.

Вернемся к технологической матрице для более глубокого усвоения. рассмотрим план производства ед. 1-й продукции. ед. 2-й и вообще ед.

-й продукции. Такой план представим вектором-столбцом . Заметим, что для осуществления такого плана понадобится ед. 1-го ресурса, ед. 2-го и вообще ед. -го ресурса. Оказывается, что такие количества ресурсов есть компоненты вектора-столбца , если выполнить умножение матрицы норм расхода слева на вектор-столбец плана производства справа.

Введем еще величину удельной прибыли - это прибыль от реализации одной единицы -й продукции. запишем все эти удельные прибыли в виде вектора-строки . Тогда произведение (скалярное, как векторов одинаковой размерности, или вектора-строки на вектор-столбец, как матриц) представляет собой величину прибыли, полученной при реализации ед. произведенной продукции. Обозначим эту прибыль .

Пусть обозначает количество единиц -го ресурса, запасенного на складе. Запишем эти величины запасов в виде вектора-столбца . тогда матрично-векторное неравенство означает необходимость учитывать ограниченность запасов ресурсов при рассмотрении планов производства. Если это неравенство выполняется значит, для плана хватит имеющихся запасов ресурсов и такой план является реальным, или, как говорят, допустимым.

Рассмотрим следующую задачу оптимального планирования: найти такой план производства, который бы был допустимым и обеспечивал наибольшую прибыль из всех допустимых планов.

Эту задачу символически записывают так:

,

.

Обозначим множество всех планов , удовлетворяющих условиям: ,, через D и назовем это множество допустимым (множеством допустимых планов); тогда указанную выше задачу можно сформулировать так: найти максимум функции прибыли на множестве D допустимых планов:

D.