##### 3.16. Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба.

График функции называется выпуклым на интервале (вогнутым на интервале ), если все точки графика расположены выше (ниже) любой его касательной на этом интервале.

Теорема 1. Если функция дважды дифференцируема на интервале и во всех его точках (), то ее график выпукл (вогнут) на этом интервале.

Точкой перегиба графика функции называется точка этого графика, которая отделяет выпуклую его часть от вогнутой (рисунке точкой перегиба является ).

Теорема 2. Если функция определена в некоторой окрестности точки и дважды дифференцируема в ней всюду, кроме, быть может, самой точки . Тогда, если при переходе через точку 2-я производная меняет знак, то точка есть точка перегиба графика функции.

Доказательство: Если при переходе через точку знак 2-й производной меняется с плюса на минус, то при этом происходит смена выпуклого участка графика функции на вогнутый; если же при переходе через точку знак 2-й производной меняется с минуса на плюс, то при этом происходит смена вогнутого участка графика функции на выпуклый. В любом случае точка графика отделяет выпуклый и вогнутый участки графика функции, т.е. является точкой перегиба.

Опираясь на данный математический аппарат, рассмотри решение задачи 3.8.

Решение: Находим предельную склонность к потреблению, поскольку задана именно функция потребления, дифференцируя по у: .

Подставляем значение национального дохода, равное 30 единицам:

.

Теперь легко находим предельную склонность к сбережению, пользуясь равенством .

Отсюда можно сделать вывод: при данном уровне национального дохода общество больше склонно проедать его. Действительно, если национальный доход увеличивается на 1 единицу от уровня 30, потребление вырастет на 0,8 и только 0,2 пойдут на инвестиции.