1.7. Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

### Начальные сведения о системах.

Рассмотрим задачу.

Задача 1.7. Из некоторого листового материала необходимо выкроить 360 заготовок типа А, 300 заготовок типа Б и 675 заготовок типа В. При этом можно применять три способа раскроя. Количество заготовок, получаемых из каждого листа при каждом способе раскроя, указано в таблице:

Тип | Способ раскроя
заготовки | 1 | 2 | 3
А | 3 | 2 | 1
Б | 1 | 6 | 2
В | 4 | 1 | 5

Записать в математической форме условия выполнения задания.

Чтобы решить данную задачу, необходимо ввести СЛАУ. Прежде, чем приступить к решению данной задачи, определим некоторый теоретический материал этой темы.

В линейной алгебре СЛАУ появляется всякий раз, когда хотим выяснить, является ли какой-нибудь вектор линейной комбинацией некоторых других векторов.

Рассмотрим несколько важных понятий, относящихся к СЛАУ.

Определение: СЛАУ называется совместной, определенной, неопределенной, несовместной, если она соответственно имеет хотя бы одно решение, имеет ровно одно решение, имеет более одного решения, не имеет решений.

Отметим, что несовместная система-это система, не имеет решений.

Примеры всех четырех систем (в порядке, перечисленном выше):

Пусть дана СЛАУ из уравнений с неизвестными:

Через , обозначим -мерный столбец переменных и -мерный столбец свободных членов , соответственно - матрица коэффициентов и в ней - составляющие ее векторы-столбцы.

В векторном виде СЛАУ записывается:

В матричном виде:

Определитель матрицы. Определитель – это число, вычисленное по определенному правилу.

Пусть - квадратная матрица 2-го порядка. Определителем 2-го порядка матрицы называется число, вычисленное по правилу:. Определитель обозначается или .

Определитель матрицы 3-го порядка матрицы вычисляется так:

Минором () некоторого элемента определителя называется определитель, получаемый из данного определителя вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых расположен этот элемент.

Так минором элемента определителя 3-го порядка является определитель 2-го порядка .

Алгебраическим дополнением () некоторого элемента определителя называется минор этого элемента, умноженный на , где сумма номеров строки и столбца, на пересечении которых расположен этот элемент

#### Свойства определителей:

1. Определитель не изменится при замене строк столбцами, т.е. определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы;

2. Перестановка двух строк (столбцов) определителя равносильна умножению его на минус единицу;

3. Если определитель имеет две одинаковые строки (столбца), то он равен нулю;

4. Общий множитель элементов строки (столбца) можно вынести за знак определителя;

5. Определитель не изменится, если к элементам одной строки (столбца), прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число;

6. Определитель равен сумме произведений элементов какой-нибудь строки (столбца), например -й, на их алгебраические дополнения, т.е. или , где -алгебраические дополнения элементов . Последняя формула называется разложением определителя по элементам ряда определителя.

Пример. Не вычисляя определителя , показать, что он равен нулю.

Решение. Вычтем из второй строки первую, получим определитель , равный исходному. Если из третьей строки также вычесть первую, то получится определитель , в котором две строки пропорциональны. Такой определитель равен нулю.

Пример. Вычислить определитель D = , разложив его по элементам второго столбца.

Решение. Разложим определитель по элементам второго столбца:

D = a12A12 + a22A22+a32A32=

= .

#### Решение СЛАУ с помощью определителей.

Рассмотрим СЛАУ из трех уравнений с тремя неизвестными:

Пусть , , ,

Тогда, если ,то СЛАУ имеет единственное решение (формулы Крамера): .

#### Обратная матрица.

Пусть - какая-нибудь матрица. Тогда матрица называется обратной к ней, если, где - некоторая единичная матрица.

Предложение: Только квадратная матрица может иметь обратную матрицу.

Для нахождения обратной матрицы можно использовать следующий алгоритм (исходная матрица обозначается ):

1) Смотрим, квадратная ли матрица; если нет, обратной матрицы не существует; если квадратная, переходим к п.2;

2) вычисляем определитель ; если он равен нулю, обратной матрицы не существует; если он не равен нулю, переходим к п. 3;

3) вместо каждого элемента матрицы ставим его алгебраическое дополнение;

4) полученную матрицу транспонируем;

5) каждый элемент полученной матрицы делим на определитель исходной матрицы и получаем матрицу, обратную данной.

Пример. Для матрицы А = найти обратную.

Решение. Находим сначала детерминант матрицы А
D = det А = = 27 ¹ 0, значит, обратная матрица существует и мы ее можем найти по формуле: А-1 = 1/D , где Аi j (i,j=1,2,3) - алгебраические дополнения элементов аi j исходной матрицы. Имеем:

откуда А-1 = .

Пример. Методом элементарных преобразований найти обратную матрицу для матрицы: А= .

Решение. Приписываем к исходной матрице справа единичную матрицу того же порядка: . С помощью элементарных
преобразований столбцов приведем левую “половину” к единичной, совершая одновременно точно такие преобразования над правой матрицей.
Для этого поменяем местами первый и второй столбцы: ~. К третьему столбцу прибавим первый, а ко второму - первый, умноженный на -2: . Из первого столбца вычтем удвоенный второй, а из третьего - умноженный на 6 второй; . Прибавим третий столбец к первому и второму: . Умножим последний столбец на -1: . Полученная справа от вертикальной черты квадратная матрица является обратной к данной матрице А. Итак,
А-1 = .

#### Метод Гаусса.

Исторически первым, наиболее распространенным методом решения систем линейных уравнений является метод Гаусса, или метод последовательного исключения неизвестных. Сущность этого метода состоит в том, что посредством последовательных исключений неизвестных данная система превращается в ступенчатую (в частности, треугольную) систему, равносильную данной. При практическом решении системы линейных уравнений методом Гаусса удобнее приводить к ступенчатому виду не саму систему уравнений, а расширенную матрицу этой системы, выполняя элементарные преобразования над ее строками. Последовательно получающиеся в ходе преобразования матрицы обычно соединяют знаком эквивалентности.

Пример. Решить систему уравнений методом Гаусса:

x + y - 3z = 2,

3x - 2y + z = - 1,

2x + y - 2z = 0.

Решение. Выпишем расширенную матрицу данной системы

и произведем следующие элементарные преобразования над ее строками:

а) из ее второй и третьей строк вычтем первую, умноженную соответственно на 3 и 2:

~ ;

б) третью строку умножим на (-5) и прибавим к ней вторую:

.

В результате всех этих преобразований данная система приводится к треугольному виду:

x + y - 3z = 2,

-5y + 10z = -7,

- 10z = 13.

Из последнего уравнения находим z = -1,3. Подставляя это значение во второе уравнение, имеем y = -1,2. Далее из первого уравнения получим
x = - 0,7.

Вернемся к исходной задаче 1.7. и объясним ее решение.

Решение. Обозначим через x, y, z количество листов материала, раскраиваемых соответственно первым, вторым и третьим способами. Тогда при первом способе раскроя x листов будет получено 3x заготовок типа А, при втором - 2y, при третьем - z.

Для полного выполнения задания по заготовкам типа А сумма
3x +2y +z должна равняться 360, т.е.

3x +2y + z =360.

Аналогично получаем уравнения

x + 6y +2z = 300

4x + y + 5z = 675,

которым должны удовлетворять неизвестные x, y, z для того, чтобы выполнить задание по заготовкам Б и В. Полученная система линейных уравнений и выражает в математической форме условия выполнения всего задания по заготовкам А, Б и В. Решим систему методом исключения неизвестных. Запишем расширенную матрицу системы и приведем ее с помощью элементарных преобразований к треугольному виду.

~ ~ ~
~ ~ ~ .

Следовательно, исходная система равносильна следующей:

x + 6y +2z = 300,

2y +9z = 570,

-67z = - 4020.

Из последнего уравнения находим z = 60; подставляя найденное значение z во второе уравнение, получим y = 15 и, наконец, из первого имеем
x = 90. Итак, вектор C (90, 15, 60) есть решение системы.