4.9.Задачи оптимизации в экономике. Экстремум функции и его нахождение.

#### Рассмотрим задачу:

Задача 4.9.: Фирма «Тумар» производит два вида сыра: «особый» и «голландский» и продает их по цене 1000 и 800 соответственно. Функция затрат (издержек) имеет вид: , где и обозначают объемы выпуска соответственно сыр «особый» и «голландский».

Для того чтобы решить эту задачу, мы должны ознакомиться с понятием экстремума функции многих переменных. Данные понятия рассматриваются в таком разделе математики, как Математический анализ. Прежде, чем приступить к решению данной задачи, определим некоторый теоретический материал этой темы.

Определение: Значение функции называется максимумом (минимумом) функции , если оно является наибольшим (наименьшим) в некоторой окрестности точки , т.е. в этой окрестности выполняется неравенство ().Соответствующее значение аргумента называется точкой максимума (минимума).

Определение: Максимумы и минимумы функции называются экстремумами функции, а точки максимума и минимума - точками экстремумов.

Определение: Точка называется критической точкой функции , если или не существует. Точка называется стационарной точкой функции , если она есть внутренняя точка области определения функции и .

Теорема: (необходимый признак экстремума). Если функция имеет во внутренней точке экстремум, то эта точка является критической точкой этой функции и стационарной, если в ней существует производная.

Теорема 1: (необходимый признак экстремума функции многих переменных). Если функция имеет во внутренней точке экстремум, то эта точка является критической точкой этой функции и стационарной, если в ней существуют все частные производные.

Определение: «подозрительными» на экстремум являются те точки, в которых все частные производные равны нулю или какая-нибудь из них не существует; в случае если функция всюду имеет частные производные, то координаты этих точек можно найти, решив систему уравнений:

#### Пример: Найти экстремум функции

Найдя частные производные и приравняв их нулю, получаем систему уравнений:. Решение этой системы очевидно: Поскольку при всех то ясно, что найденная точка (0,1) есть точка минимума.

Достаточное условие экстремума.

Пусть и - стационарная точка, т.е. . Обозначим , , , .

Теорема 2: (Достаточный признак экстремума). Если и , то в точке максимум, если и , то минимум. Если же , то экстремума нет.

Вернемся к задаче 4.9. рассмотренной в начале темы и объясним ее решение:

Решение 4.9.: Фирма монопольно может устанавливать цены и вынуждена ориентироваться на рыночные цены, которые не зависят от объемов производства и (эти объемы слишком малы). Поэтому суммарный доход от продажи сыр .

Прибыль представляет собой разницу между доходом и затратами , поэтому ,

или

.

Это и есть та функция двух переменных, максимум которой следует найти, т.е. решить задачу оптимизации.

Для того чтобы найти стационарные точки, вычисляем частные производные первого порядка

,

и приравниваем их к нулю, что дает систему двух уравнений с двумя неизвестными

Решение этой системы и даст нам координаты стационарной точки. Вычитая из первого уравнения почленно второе, получаем

или

.

## Подставляя полученное значение в первое уравнение, находим

.

Таким образом, стационарная точка имеет координаты . Остается выяснить вопрос: имеем ли мы в стационарной точке максимум, минимум или не имеем ни того, ни другого. Для решения вычисляем частные производные второго порядка

, ,

и составляем выражение

Кроме того, ;. Поэтому в стационарной точке имеет место максимум. Подставляя координаты стационарной точки в функцию прибыли . Это и есть величина максимальной прибыли, которая достигается при объемах производства ; , что завершает решение задачи.