4.5.Частные производные второго и высших порядков.

Частной производной функции нескольких переменных по одной из этих переменных называется производная, взятая по этой переменной при условии, что все остальные переменные остаются постоянными. Для функции двух переменных z = f(x, y) частной производной по переменной x называется производная этой функции по x при постоянном y. Обозначается частная производная по x следующим образом: .

Аналогично частной производной функции z = f(x, y) по аргументу y называется производная этой функции по y при постоянном x. Обозначения:

.

Частными производными второго порядка функции z = f(x, y) называются частные производные от ее частных производных первого порядка. Если первая производная была взята, например, по аргументу x, то вторые производные обозначаются символами .

Пусть функция z = f(x, y) определена в области D и точка Mo(xo, yo) будет внутренней точкой этой области. Говорят, что функция f(x, y) в точке Mo(xo, yo) имеет максимум (минимум), если ее можно окружить такой окрестностью

(xo - d, xo + d; yo - e, yo+ e),

чтобы для всех точек этой окрестности выполнялось неравенство

f(x,y) £ f(xo,yo) ( f(x,y) ³ f(xo,yo)).

Функция многих переменных может иметь максимум или минимум (экстремум) только в точках, лежащих внутри области определения функции, в которой все ее частные производные первого порядка равны нулю или не существует хотя бы одна из них. Такие точки называются критическими. Названные условия являются необходимыми условиями экстремума, но еще не достаточными (они могут выполняться и в точках, где нет экстремума). Чтобы критическая точка была точкой экстремума, должны выполняться достаточные условия. Сформулируем достаточные условия экcтремума для функции двух переменных. Пусть точка Mo(xo, yo) - критическая точка функции z = f(x, y), т.е. , и функция
z = f(x, y) имеет непрерывные вторые частные производные в некоторой окрестности точки Mo(xo, yo). Обозначим . Тогда:

1) если D > 0, то функция z имеет экстремум в точке Mo: максимум при A < 0, минимум при A > 0;

2) если D < 0, то экстремума в точке Mo нет;

3) если D = 0, то требуется дополнительное исследование.

Пример 3.28. Исследовать функцию z = y4 - 2xy2 + x2 + 2y + y2 на экстремум.

Решение. Находим частные производные: = - 2y2 + 2x, = 4y3 - 4xy +2 +2y. Для отыскания критических точек решим систему уравнений: .

Итак, Mo(1,-1) -единственная точка, “подозрительная на экстремум”. Находим вторые частные производные: , следовательно, A=2, B=4, С=10, D = 4, т.е. D > 0, функция имеет экстремум в точке Mo - минимум (A>0). Вычислим z min = (-1)4 - 2×1×(-1)2 +1 - 2 +1 = -1.