7.7. Риск как среднее квадратическое отклонение. Еще одно понимание риска. Рассмотрим какую-нибудь операцию, доход которой есть с.в.. Как уже указывалось, средний ожидаемый доход — это математическое ожидание с.в. Q, А вот среднее квадратическое от клонение — это мера разбросанности возможных значе ний дохода вокруг среднего ожидаемого дохода, что вполне можно считать мерой риска. Напомним, что .

Найдем риски (в их новом определении) доходов Qi в примере 1 с вероятностями из п. 3.

Ряды распределения, средние ожидаемые доходы и новые риски:

, .

, .

, .

, .

Нанесем средние ожидаемые доходы и риски на плоскость — доход = q откладываем по горизонтали, а риски — по вертикали (см. рисунок).

Получили четыре точки. Чем правее точка (q,r), тем более доходная операция, чем точка выше — тем более она рисковая.

Значит, нужно выбирать точку правее и ниже. Точка (q’, r') доминирует точку (q, r), если и . В нашем случае 1-я операция доминирует 2-ю, 3-я доминирует 2-ю и 3-я доминирует 4-ю. Но 1-я и 3-я операции несравнимы — доходность 3-й больше, но и риск ее тоже больше.

Точка, недоминируемая никакой другой, называется оптимальной по Парето, а множество всех таких точек называется множеством оптимальности по Парето. Легко видеть, что если из рассмотренных операций надо выбрать лучшую, то ее обязательно надо выбрать из операций, оптимальных по Парето.

Для нахождения лучшей операции иногда применяют подходящую взвешивающую формулу, которая для пар (q, r) дает одно число, по которому и определяют лучшую операцию.

Пример. Предположим, что вы имеете акцию какой-то компании. Обладание акциями всегда связано с риском понести убытки из-за падения курса акций. В этой ситуации вы хотели подстраховаться от возможного падения курса акций, которой вы владеете. Для этого покупаете специальную бумагу, которая называется опцион на продажу, или по-английски - «put». Этот опцион имеет определенный срок реализации, например один месяц. В течение этого срока опцион дает вам возможность продать акцию по заранее оговоренной в этом опционе цене (называемой ценой исполнения), независимо от рыночной цены акции в этот момент. Это американский вариант опциона, а в европейском варианте исполнение опциона возможно только в строго определенный момент, например, в последний день месяца.

Конкретно, у вас есть акция, рыночная цена которой сейчас $100. За $5 вы приобретаете европейский «put» опцион на один месяц со сроком исполнения в последний день месяца и с ценой исполнения $100. Если в последний день курс акций будет более $100, то вам незачем исполнять купленный опцион - ведь котировка акций не уменьшилась. Однако если курс акций упадет ниже $100, то вы предъявите опцион и продадите акцию по цене исполнения опциона, т.е. за $100. Рассмотрим условный пример дохода, убытка и риска, связанных с подобной операцией. Допустим, что вероятностный прогноз курса таков:

$90 | 100 | 110
0,5 | 0,4 | 0,1
10 | 0 | 10
-5 | -5 | 5

Пополним ряд распределения снизу строками дохода без покупки опциона и с его покупкой. Средний ожидаемый доход равен -4 в обоих случаях: без покупки опциона и с его покупкой, а вот дисперсия уменьшилась с44 до 27,5. Следовательно, уменьшилось и среднее квадратическое отклонение - с »6,6 до »5,24. Итак, вариант с опционом сохраняет средний ожидаемый доход и уменьшает риск.