5.2.Геометрическое понимание интеграла.

Рассмотрим в промежутке непрерывную функцию , принимающую лишь неотрицательные значения. Рассмотрим фигуру ,

ограниченную кривой , двумя вертикальными прямыми: и и отрезком оси , т.е.

При изменении площадь будет изменяться,

являясь функцией от ; обозначим эту функцию

Найдем производную этой функции. Придадим некоторое приращение ; тогда площадь получит приращение .

Пусть исоответственно наименьшее и наибольшее значения в промежутке , тогда , откуда . При , в силу непрерывности ,и будут стремиться к , а тогда и . Следовательно, .

Пример 5.1. Вычислить ò dx/(x+2).

Решение. Обозначим t=x+2, тогда dx=dt, ò dx/(x+2) = ò dt/t = ln ï t ï+C =
= ln ï x+2 ï+C.

Пример 5.2. Найти ò tg x dx.

Решение. ò tg x dx = ò sin x/cos x dx = - ò d(cos x)/ cos x. Пусть t=cos x, тогда ò tg x dx = - ò dt/t = - ln ï t ï+C = - ln ï cos x ï+C.

Пример 5.3.Найти ò dx/sin x.

Решение.

Пример 5.4. Найти .

Решение. =

Пример 5.5. Найти ò arctg x dx.

Решение. Обозначим u=arctg x, dv=dx. Тогда du = dx/(x2+1), v=x, откуда ò arctg x dx = x arctg x - ò x dx/(x2+1) = x arctg x + ½ ln(x2+1) +C; так как
ò x dx/(x2+1) = ½ ò d(x2+1)/(x2+1) = ½ ln(x2+1) +C.

Пример 5.6. Вычислить ò ln x dx.

Решение. Применяя формулу интегрирования по частям, получим:
u=ln x, dv=dx, du= 1/x dx, v=x. Тогда ò ln x dx = x lnx - ò x 1/x dx =
= x lnx - ò dx = x lnx - x + C.

Теперь объясним решение данной в начале темы задачи 5.1.

Решение задачи: Для решения задачи воспользуемся определением предельных издержек, , где и есть искомая функция суммарных издержек. Теперь ясно, что , где с - постоянная интегрирования.

Разумеется, издержки не могут неопределенными. Вспомним, однако, что постоянные издержки, т.е. не зависящие от объема производства, по условию задачи равны 90. Другими словами, если ничего не производится, т.е.

постоянные издержки все равно будут равны 90. Поэтому можно записать откуда сразу находим постоянную интегрирования с=90 и окончательный результат . Следовательно, постоянная интегрирования равна постоянным издержкам.