4.13.«Золотое правило» экономики для многоресурсной фирмы.

В общем случае, т.е. когда фирма использует не один ресурс, а несколько.

Итак, фирма выпускает один товар и его количество обозначим . Вектор ресурсов-затрат .Затраты однозначно определяют выпуск, и эта связь есть производственная функция .

Будем предполагать, что производственная функция удовлетворяет необходимым условиям дифференцируемости, а также условиям, аналогичным изложенным в аксиомах 1,2 (см. выше):

1) она неубывающая в экономической области ; отсюда следует, что ее частные производные, называемые предельными продуктами, неотрицательны в этой области;

2) в рассматриваемом выпуклом подмножестве всякое подмножество также выпукло для всех .

Экономический смысл этих требований точно такой же, как и для случая одного ресурса: 1) увеличение затрат не может привести к уменьшению выпуска и 2) должен выполняться закон убывающей отдачи или убывающей доходности.

Пусть - вектор цен на ресурсы и - цена единицы выпускаемого товара. Тогда прибыль , являющая в итоге функцией (и цен , но они считаются постоянными), есть . Следовательно, приходим к задаче многоресурсной фирмы:

,

.

приравнивая частные производные функции нулю, получим (3)

Будем предполагать, что все затраты строго положительны (нулевые можно просто исключить из рассмотрения). Тогда точка, даваемая соотношением (3), оказывается внутренней, т.е. стационарной точкой. Второе же условие, которому должна удовлетворять производственная функция, гарантирует, что это точка максимума.

Итак, при естественных предположениях на производственную функцию соотношение (3) дает решение задачи многоресурсной фирмы, т.е. определяет объем перерабатываемых ресурсов, в результате чего получается выпуск . Точку или назовем оптимальным решением фирмы.

в многомерном случае называется предельным вектором- продуктом, или вектором предельных продуктов. Этот вектор является откликом выпуска на изменение вектора ресурсов- затрат. Соотношение (3) утверждает, что в оптимальной точке вектор предельных продуктов пропорционален вектору цен, причем коэффициентом пропорциональности служит цена единицы продукции. Далее - это стоимость го предельного продукта, дополнительно полученного из одной единицы го ресурса. однако стоимость единицы го ресурса. однако стоимость единицы го ресурса равна , т.е имеем равновесие: можно вовлечь в производство дополнительно единицу го ресурса, потратив на его закупку , но в результате выигрыша не будет, так как получим после переработки ровно столько же денег, сколько затратили. итак, оптимальная точка, даваемая соотношением (3), является точкой равновесия - уже невозможно «выжать» из товаров- ресурсов больше, чем затрачено на их покупку.

Очевидно, наращивание выпуска фирмы происходило постепенно: сначала стоимость предельных продуктов была меньше покупной цены потребных для их производства товаров-ресурсов. Наращивание объемов производства идет до тех пор, пока не начнет выполняться соотношение (3): равенство стоимости предельных продуктов и покупной цены потребных для их производства товаров ресурсов.

При определенных условиях, наложенных на производственную функцию (см. аксиомы 1,2 пункт выше), оптимальное решение задачи фирмы, даваемое соотношение (3), единственно для всех и. Таким образом, получается вектор - функция или функции . Эти функций называются функциями спроса на ресурсы при данных ценах на продукцию и ресурсы. Что содержательно означает эти функции?

Ели сложились цены на ресурсы и цена на выпускаемый товар, то производитель, характеризующийся данной производственной функцией, определяет объем перерабатываемых ресурсов по функциям и тем самым определяется оптимальный размер фирмы. А уже зная объемы перерабатываемых ресурсов и подставляя эти объемы в производственную функцию, получим выпуск как функцию цен.

Пример: Группа в количестве «челноков» решила объединится с продавцами. Прибыль от дня работы (выручка минус расходы, но не зарплата) выражается формулой . Зарплата «челнока» 12000 тенге за декаду, продавца 8000 тенге за декаду. Найти оптимальный состав группы из «челноков» и продавцов, т.е. количество «челноков» и продавцов.

Решение. Составляем и решаем систему уравнений- соотношений (3):

Разделив 1-е уравнение на 2-е получим: , т.е. .

Подставляя это выражение во 2-е уравнение, получим:

,

откуда окончательно: , значит, .