3.6. Определение предела функции. Число А называется пределом функции при х, стремящемся к (), если для любого найдется такое , что при. Это записывают так:.

Следует обратить внимание на то, что в определении не требуется, чтобы функция была определена и в предельной точке, но она должна быть определена в какой-нибудь окрестности предельной точки (за вычетом самой предельной точки).

Если и , то пишут; если и , то. Соответствующие пределы называются левосторонним и правосторонним пределами функции в точке . В этих определениях предполагается, что функция определена на некотором промежутке слева от предельной точки или справа. Для существования двустороннего предела функции (при ) необходимо и достаточно, чтобы существовали оба односторонних предела и они совпадали.

Отдельно поясним, что такое предел функции при : , если для любого найдется такое , что при .

Аналогично определяется предел функции при .

Предел функции может быть сведен в некотором смысле к пределу последовательности.

Пусть , причем функция определена на некотором промежутке слева от предельной точки . Тогда можно бесчисленным множеством способов определить последовательность , имеющую своим пределом слева х. Тогда: если , то любая последовательность , стремящаяся к слева, имеет своим пределом А; верно и обратное — если при любой последовательности , стремящейся слева к , последовательность имеет своим пределом одно и то же число А, то .

#### Основные свойства пределов.

Лемма. Если , то , где - б.м.ф.

Обратная лемма. Если , где А есть константа и - б.м.ф, то .

Пределы обладают следующими свойствами:

1) если С есть постоянная функция, то;

2) если существуют и при каком-то условии, то (при том же условии); отметим, что это свойство справедливо для любого конечного числа функций;

3) если существуют и , то (при одном и том же условии); отметим, что это свойство справедливо для любого конечного числа функций; в частности, имеет место формула

4) если существуют и , то (при одном и том же условии);

5) если и существуют , ,то .

Следствие: Если и существуют , ,то .

Во многих важных случаях существование предела можно установить с помощью следующей теоремы.

Теорема. Пусть функция монотонно не убывает (или не возраста ет) при . Если при этом функция ограничена сверху (снизу), то при она имеет конечный предел; в противном случае она стремится к ()

#### Первый и второй замечательный пределы.

Рассмотрим при . Можно доказать, что этот предел равен единице. Именно этот предел и называется первым замечательным пределом. Его значение объясняется тем, что знание этого позволяет находить многие другие пределы.

В частности, получаем, что и -эквивалентные б.м.ф. при . Так что

Рассмотрим при . Можно доказать, что этот предел существует. Его обозначают специальным числом е. Это число е примерно равно 2,71. Именно этот предел и называется вторым замечательным пределом. Его значение объясняется еще тем, что знание этого предела позволяет находить многие другие пределы.

Пример. Пользуясь определением предела числовой последовательности, доказать, что последовательность xn =(n-1)/n имеет предел, равный 1.

Решение. Нам надо доказать, что, какое бы e>0 мы ни взяли, для него найдется натуральное число N, такое, что для всех n > N имеет место неравенство ½ xn -1 ½<e.

Возьмем любое e >0. Так как ½ xn -1 ½=½(n+1)/n - 1 ½= 1/n, то для отыскания N достаточно решить неравенство 1/n<e. Отсюда n>1/e и, следовательно, за N можно принять целую часть от 1/e, N = E(1/e). Мы тем самым доказали, что xn = 1.

Пример. Найти предел последовательности, заданной общим членом xn = .

Решение. Применим теорему о пределе суммы и найдем предел каждого слагаемого. При n ®¥ числитель и знаменатель каждого слагаемого стремится к бесконечности, и мы не можем непосредственно применить теорему о пределе частного. Поэтому сначала преобразуем xn, разделив числитель и знаменатель первого слагаемого на n2, а второго на n. Затем, применяя теорему о пределе частного и о пределе суммы, найдем:

xn = .

Пример. xn = . Найти xn.

Решение. =.

Здесь мы воспользовались теоремой о пределе степени: предел степени равен степени от предела основания.

Пример. Найти ().

Решение. Применять теорему о пределе разности нельзя, поскольку имеем неопределенность вида ¥ - ¥. Преобразуем формулу общего члена:

= .