3.10.Правила дифференцирования.

Производные основных элементарных функций:

1) постоянная величина: ;

2) степенная функция:;

3) показательная функция: ;

4) показательная функция с основанием : ;

5) логарифмическая функция с натуральным логарифмом: ;

6) логарифмическая функция:

7) тригонометрические функции:, , ,

#### Структурные правила дифференцирования:

1) производная суммы: ;

2) производная произведения: ;

3) производная частного: ;

4) производная сложной функции: ;

5) производная сложной функции:

Пример . Найти y', y = tg x +.

Решение. Используя правила дифференцирования суммы и частного, получим: y'=(tgx + )' = (tgx)' + ()' = + = .

Пример. Найти производную сложной функции y=,
u=x4 +1.

Решение. По правилу дифференцирования сложной функции, получим: y'x =y 'u u'x =()'u(x4 +1)'x =(2u +. Так как u=x4 +1,то
(2 x4 +2+.

Пример . Найти производную функции y=.

Решение. Представим функцию y= в виде суперпозиции двух функций: y = eu и u = x2. Имеем: y'x =y 'u u'x = (eu)'u(x2)'x = eu ×2x. Подставляя x2 вместо u, получим y=2x.

#### Производная неявных и параметрических функций.

Пусть функция задана неявно при помощи уравнения . Чтобы найти ее производную, нужно это равенство продифференцировать по с учетом зависимости от и затем решить полученное уравнение относительно .

Пример: Найти от неявной функции

Решение: Продифференцировать данное равенство по , затем найдем : , откуда

Функция называется параметрической, если значения функции и значения аргумента задаются при помощи функции от вспомогательной величины , называемой параметром: и.

Правило нахождения производной параметрической функции: если существуют и , то .

Пример: Найти от функции , заданной параметрический: ,

Решение:, ,значит, .

Производные высших порядков. Производная функции является новой функцией того же аргумента . Производная этой функции называется производной 2-го порядка по отношению к исходной функции и она обозначается или . Аналогично определяются производная 3-го порядка, производная 4-го порядка и дальнейшие производные.

#### Теоремы о дифференцируемых функциях.

Теорема Ферма: Если функция дифференцируема в точке , т.е. существует , и всюду в некоторой окрестности этой точки , т.е. является наибольшим (наименьшим) значением функции в этой окрестности, то .

Доказательство: , так как одновременно и ( и ).

Теорема Ферма лежит в основе нахождения экстремумов функций с помощью производной.

Теорема Ролля: Если функция непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервале и , то в некоторой точке интервала ее производная равна нулю.

Доказательство. По теореме Вейерштрасса функция принимает на отрезке свои наибольшее и наименьшее значения. По крайней мере, одно из этих значений она принимает во внутренней точке отрезка; иначе, поскольку , функция была бы постоянна на всем отрезке, но тогда ее производная была бы равна нулю всюду на интервале . Итак, какая-то точка экстремума является внутренней. Но тогда по теореме Ферма производная в этой точке равна нулю.

Теорема Лагранжа: Если функция непрерывна на отрезке и дифференцируема на интервале , то найдется точка , для которой .

Доказательство: Рассмотрим функцию . Эта функция удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля, значит, существует такая точка , что , или , что и требовалось доказать.

теорема Лагранжа называется еще теоремой о среднем; значение есть средняя скорость изменения функции на отрезке .