2.5.Важнейшие кривые 2-го порядка.

Кривой 2-го порядка называется линия, уравнение которой является уравнением 2-го порядка относительно прямоугольных координат: .

Уравнение 2-й степени определяет или окружность, или эллипс, или гиперболу, или параболу, или пару пересекающихся прямых, или пару параллельных прямых, или только одну точку, или множество точек, координаты которых удовлетворяют этому уравнению.

Пример 2.5. Уравнение определяет пару пересекающихся прямых и .

Пример 2.6. Уравнение определяет пару параллельных прямых и .

## Пример 2.7.Уравнение определяет одну точку

Пример 2.8.Уравнению не удовлетворяют координаты никакой точки.

Окружность. Окружностью называется множество всех точек плоскости, находящихся на одинаковом расстоянии, называемом радиусом, от фиксированной точки, называемой центром окружности.

## Выведем уравнение окружности радиуса

с центром в точке .

Для любой точки окружности

имеем или .

Получаем уравнение окружности: .

Если , то - каноническое уравнение окружности.

Эллипс. Эллипсом называется множество всех точек плоскости, сумма расстояний от которых дл двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная.

Пусть постоянная величина, а фокусы ес ть точки . Для любой точки эллипса расстояния до фокусов есть и

.

По определению эллипса , откуда вытекают следующие соотношения:

;

;

;

;

; ;

Если , то последнее уравнение дает - уравнение отрезка.

Если , то обозначив и разделив на , получим каноническое уравнение эллипса , при этом .

Согласно этому уравнению, эллипс симметричен относительно осей координат. Положительные числа называются большой и малой полуосями эллипса, а число - эксцентриситетом эллипса. При имеем: и эллипс вырождается в отрезок .

Парабола. Параболой называется множество всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки , называемой фокусом, и от данной прямой , называемой директрисой.

Пусть - фокус параболы, а прямая

вертикальна и проходит через точку , симметричную фокусу относительно вертикальной оси координат.

Пусть - произвольная точка параболы, тогда - расстояние этой точки от директрисы и - расстояние до фокуса. по определению параболы, эти расстояния равны: . Отсюда получаем уравнение параболы:

Гипербола. Гиперболой называется множество всех точек плоскости разность расстояний от которых до двух данных точек и, называемых фокусами, есть величина постоянная.

Пусть эта величина равна . Если

,- фокусы гиперболы и -

произвольная точка гиперболы, то расстояния от

этой точки до фокусов равны

и

По определению гиперболы или . Преобразуя это выражение так же, как и в случае эллипса, получаем каноническое уравнение гиперболы: , при этом . Согласно этому уравнению, гипербола симметрична относительно осей координат.

Вернемся к решению задачи 2. которую рассматривали в начале блока.

Решение. Обозначим количество продукции, перевозимой из пункта А в пункт I через x, а из пункта А в пункт II - через y. Так как полная потребность в пункте I равна 150 единицам, то из пункта В надо завезти (150 - x) единиц. Точно так же из пункта В в пункт II надо завезти (240 - y) единиц. Далее: производительность пункта А равна 250 единицам, а мы уже распределили (x + y) единиц. Значит, в пункт III идет из пункта А (250 - x -y) единиц. Чтобы полностью обеспечить потребность пункта III, осталось завезти 210 - (250 - x -y) = x + y - 40 единиц из пункта В. Итак, план перевозок задается следующей таблицей.

Таблица 2

Пункт производства | Пункт потребления
I | II | III
A | x | y | 250 - x - y
B | 150 - x | 240 - y | x + y - 40

Чтобы найти полную стоимость перевозки, надо умножить каждый элемент этой таблицы на соответствующий элемент предыдущей таблицы и сложить полученные произведения. Получим выражение:

S(x,y) = 4x + 3y + 5 (250 - x - y) + 5 (150 - x) +
+ 6 (240 -y) + 4 (x + y - 40) = - 2x - 4y +3280.

По условию задачи требуется найти минимум этого выражения. Но величины x и y не могут принимать произвольных значений. Ведь количество перевозимой продукции не может быть отрицательным. Поэтому все числа таблицы 2 неотрицательны:

x ³ 0, y ³ 0, 250 - x - y ³ 0, 150 -x ³ 0, 240 - y ³ 0, x + y - 40 ³ 0. (2.12)

Итак, нам надо найти минимум функции S(x,y) в области, задаваемой системой неравенств (2.12). Эта область изображена на рис.3 - она является многоугольником, ограниченным прямыми:

x = 0, y = 0, 250 - x - y = 0, 150 - x = 0, 240 - y = 0, x + y - 40 = 0.

Рис. 3.

Находим координаты вершин многоугольника: A (0,40), B (40,0),
C (150,0), D (150,100), E (10,240), F (0,240). Очевидно, что функция S(x,y) принимает наименьшее значение в одной из вершин многоугольника CDEFKL.

В самом деле, выясним, где располагаются точки, в которых значения этой функции одинаковы (так называемые линии уровня функции
S (x,y) = -2x - 4y + 3280). Если значение функции S (x,y) равно c, где с - вещественная константа, то - 2x - 4y + 3280 = c. Но это уравнение прямой линии. Значит, для функции S линиями уровня являются прямые линии, которые параллельны друг другу при различных значениях c. Если линия уровня пересекает многоугольник, то соответствующее значение c не является ни наибольшим, ни наименьшим. Ведь немного изменив c, мы получим прямую, которая также пересекает многоугольник. Если же линия уровня проходит через одну из вершин, причем весь многоугольник остается по одну сторону от этой линии, то соответствующее значение c является наибольшим или наименьшим.

Итак, функция S (x,y) = -2x - 4y + 3280 принимает наименьшее значение на многоугольнике в одной из его вершин. Поскольку мы уже знаем эти вершины, то подставим соответствующие значения координат и найдем, что

S (0,40) = 3120, S (40,0) = 3200, S (1,500) = 2980,

S (150,100) = 2580, S (10,240) = 2300, S (0,240) = 2320.

Наименьшим из этих значений является 2300. Это значение функция принимает в точке E (10, 240). Значит, x = 10, y = 240. Подставляя эти значения в план перевозок (см. таблицу 2), получаем:

Таблица 3

Пункт производства | Пункт потребления
I | II | III
A | 10 | 240 | 0
B | 140 | 0 | 210

Таким образом, из пункта А в пункт I надо перевезти 10 единиц продукции, из пункта А в пункт II - 240 единиц и т. д. Стоимость намеченного плана равна 2300.

Рассмотренная задача относится к большому классу задач, возникающих не только в экономике, но и в других областях человеческой деятельности. Задачи такого типа называются задачами линейного программирования.