5.5.Линейные уравнения и приводимые к ней.

Определение. Линейным уравнением 1-порядка называется уравнение линейное относительно неизвестной функции и ее производных, т.е. (1), где - заданные непрерывные функций или постоянные.

(1’) -запись линейного уравнения.

Решение линейного уравнения.

1 способ.

(2) одну из этих функции можно взять произвольно, другая определяется на основании уравнения 1.

подставляем в (1)

(3)

(4)

выберем функцию из (4)

(5)

;

Достаточно какого-нибудь решения уравнения 5 тогда предположим и за функцию (6)

Условие (6), (5) подставляем в (4)

(7)

вместо подставляем (7), вместо -(6)

### 2- способ. Если в уравнение (1) , то уравнение вида (8) - называется линейным однородным уравнением.

А уравнение (1)- линейным, неоднородным уравнением.

рассмотрим решение однородного уравнения (8) ,

уравнение с разделяющими переменными

по определению логарифмов

(9)

Чтобы решить уравнение (1) применяется метод вариации постоянной.

Решение (9) подставим в уравнение (1), в этой формуле постоянная считается неизвестной функций от , т.е. (10)

Подставим в уравнение (1)

проинтегрируем

подставим в (10) (11) - общее решение линейного неоднородного уравнения.