3.12.Экстремум функции и его нахождение.

Значение функции называется максимумом (минимумом) функции , если оно является наибольшим (наименьшим) в некоторой окрестности точки , т.е. в этой окрестности выполняется неравенство . Соответствующее значение аргумента называется точкой максимума (минимума). Максимумы и минимумы функции называются экстремумами функции, а точки максимума и минимума - точками экстремумов.

Напомним, что точка является внутренней точкой области определения функции, если некоторая окрестность точки целиком содержится в области определения.

Точка называется критической точкой функции , если или не существует. Точка называется стационарной точкой функции , если она есть внутренняя точка и.

Теорема 1.(необходимый признак экстремума). Если функция имеет во внутренней точке экстремум, то является критической точкой этой точки.

Доказательство: Так как - внутренняя точка экстремума, то всюду в некоторой ее окрестности или . Если не существует, то - критическая точка по определению. А если существует, то выполнены условия теоремы Ферма и тогда по этой теореме .

Теорема 2. (первый достаточный признак экстремума). Пусть функция непрерывна в некоторой окрестности точки и дифференцируема в ней всюду, кроме, быть может, точки . Тогда:

1) если при и при , то есть точка максимума функции;

2) если при и при то есть точка минимума функции.

Теорема 3. (второй достаточный признак экстремума). Пусть функция и ее производные и непрерывны в некоторой окрестности точки и пусть . Тогда:

3) если , то есть точка максимума функции;

4) если , то есть точка минимума функции.

Пример . Найти экстремумы функции f(x) = 2x3 - 15x2+ 36x - 14.

Решение. Так как f ¢ (x) = 6x2 - 30x +36 = 6(x -2)(x - 3), то критические точки функции x1 = 2 и x2 = 3. Экстремумы могут быть только в этих точках. Так как при переходе через точку x1 = 2 производная меняет знак плюс на минус, то в этой точке функция имеет максимум. При переходе через точку x2 = 3 производная меняет знак минус на плюс, поэтому в точке x2 = 3 у функции минимум. Вычислив значения функции в точках
x1 = 2 и x2 = 3, найдем экстремумы функции: максимум f(2) = 14 и минимум f(3) = 13.

Пример. Нужно построить прямоугольную площадку возле каменной стены так, чтобы с трех сторон она была отгорожена проволочной сеткой, а четвертой стороной примыкала к стене. Для этого имеется a погонных метров сетки. При каком соотношении сторон площадка будет иметь наибольшую площадь?

Решение. Обозначим стороны площадки через x и y. Площадь площадки равна S = xy. Пусть y - это длина стороны, примыкающей к стене. Тогда по условию должно выполняться равенство 2x + y = a. Поэтому y = a - 2x и S = x(a - 2x), где 0 £ x £ a/2 (длина и ширина площадки не могут быть отрицательными). S ¢ = a - 4x, a - 4x = 0 при x = a/4, откуда
y = a - 2×a/4 =a/2. Поскольку x = a/4 - единственная критическая точка, проверим, меняется ли знак производной при переходе через эту точку. При x < a/4 S ¢ >0, а при x >a/4 S ¢ <0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a2 /8 (кв. ед).

Поскольку S непрерывна на [0, a/2] и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

Пример. Требуется изготовить закрытый цилиндрический бак вместимостью V=16 p » 50 м3. Каковы должны быть размеры бака (радиус R и высота Н), чтобы на его изготовление пошло наименьшее количество материала?

Решение. Площадь полной поверхности цилиндра равна S = 2 p R(R+Н). Мы знаем объем цилиндра V = p R2Н Þ Н = V/p R2 =16 p/ p R2 = 16/ R2. Значит, S® = 2 p(R2+16/R). Находим производную этой функции:
S ¢® = 2 p(2R- 16/R2) = 4 p (R- 8/R2). S ¢® = 0 при R3 = 8, следовательно,
R = 2, Н = 16/4 = 4.