4.4.Частные производные.

Рассмотрим задачу:

Задача 4.5. Пусть полезность (потреблению благ ставится в соответствие число , называемое полезностью, чем выше оценка, которую дает потребитель этим благам, тем больше число ) задана как . Требуется оценить (приближенно вычислить) изменение полезности, когда , уменьшается от 100 до 99, а увеличивается от 200 до 201.

Чтобы вычислить изменение полезности, нам нужно воспользоваться теоретическим материалом частной производной.

Пусть числовая функция определена в некоторой открытой области . Возьмем некоторую точку из этой области. Если значения переменных оставить равными соответственно, а изменять, то будет фактически функцией одной переменной (по крайней мере, в некоторой окрестности точки ); поэтому можно поставить вопрос о наличии производной этой функции в точке . Придадим приращение , тогда функция получит приращение , которое называется частным приращением по , поскольку оно вызвано изменением значения лишь одной переменной. По определению производной, она представляет собой предел . Эта производная называется частной производной функции по в точке .

Частную производную обозначают или или .

Аналогично, считая равными соответственно и изменяя , можно рассматривать предел , который называется частной производной функции по в точке и обозначается или или .

Точно также определяется частная производная функции по в точке ; она обозначается или или .

При вычислении частной производной по какой-то переменной все остальные считаются константами.

Пример: Найдем частные производные функции . Имеем: ; ; .

Если собрать все частные производные, то получим трехмерный вектор (,,). Он обозначается обычно и называется градиентом.

В общем случае функции переменных этот вектор есть . если вектор-набор аргументов обозначить , то иногда вводят обозначение , понимая под этим вектор-градиент