2. Генеральная совокупность и выборки из нее.

Исследовать все элементы генеральной совокупности нецелесообразно или даже невозможно по следующим причинам:

а) генеральная совокупность может быть очень большой;

б) изучение даже отдельного элемента может стоить большого
труда;

в) в процессе изучения элементам может быть нанесен ущерб, иногда в процессе изучения они уничтожаются и т.д.

Поэтому из генеральной совокупности отбирают несколько эле ментов и их изучают. Эти несколько элементов называются выбор кой. По указанным выше причинам выборка не может быть большой. Однако мы хотим распространить выводы, сделанные при изучении выборки, на всю генеральную совокупность, т.е. выборка должна быть представительной. Другими словами, выборка должна быть моделью генеральной совокупности с точки зрения интересующих нас закономерностей. Стало быть, здесь мы имеем дело с общей и принципиальной проблемой любого моделирования — надо найти компромисс между двумя противоречивыми требованиями: для уменьшения трудоемкости исследования выборки ее хочется сделать поменьше, но с другой стороны — чтобы она была представитель ной, ее надо сделать побольше. Это сложная проблема. Методы теории вероятностей и математической статистики позволяют частично ее решить. Подробнее на этом остановимся в дальнейшем.

Уточним теперь сам предмет исследования генеральной совокупности. Для применения количественных методов, в частности методов математической статистики, а также методов компьютерной обработки, будем считать, что изучается некоторая характеристика элементов генеральной совокупности, имеющая числовую оценку. Как в примере 2 — километраж, пройденный автомобилем. Или, как в примере 1 — стоимость костюма, который предпочитает купить анкетируемый покупатель. Если же исследуемая характеристика не имеет количественной оценки, то ее легко закодировать, придав ее оттенкам числовые коды. Например, 0 (нуль) будет соответствовать отечественным костюмам, а 1 (единица) — импортным (см. пример 1).

Подведем итог. Генеральная совокупность представляется огром ной необозримой совокупностью более или менее однородных объектов, у которых нас интересует некоторый количественный признак. Выборка из нее — сравнительно небольшой ряд этих объектов, с которых сняты значения признака — тем самым получен просто ряд чисел. Начальная статистическая обработка информации свелась теперь к обработке этого сравнительно небольшого ряда чисел.

Теперь, после знакомства со случайными величинами, можно по-другому взглянуть на понятие генеральной совокупности. Предположим, что исследуется св. X. Значит, мы имеем возможность раз за разом воспроизводить опыт, в результате которого X принимает какое-то значение. Но закон распределения X нам неизвестен. Как его найти? Очевидно, что нет никакой иной возможности, чем производить раз за разом опыты, фиксировать значения, которые принимает X, и пытаться по ряду этих значений определить закон рас пределения X, хотя бы приближенный. Такой вопрос уже вставал перед нами, когда мы по частоте определяли приближенно вероятность случайного события.

Представим себе, хотя бы мысленно, совокупность всех значе ний, которые может принять с. в.X в результате производимых опытов. Это и есть исследуемая генеральная совокупность. Так мы свели изучение св. к изучению соответствующей генеральной совокупно сти (всех ее потенциальных значений). С другой стороны, пусть есть какая-то генеральная совокупность и мы интересуемся какой-нибудь характеристикой Y ее элементов. Исследование отдельного элемен та генеральной совокупности можно считать проведением опыта, в ходе которого исследуемая характеристика Y принимает какое-то значение. Так мы свели изучение генеральной совокупности к изучению соответствующей случайной величины (принимающей свои значения на элементах генеральной совокупности).

Итак, в определенном смысле случайная величина и генераль ная совокупность — это одно и то же. Выборка из генеральной совокупности и серия опытов со св. — эти понятия, в определенном смысле, также можно отождествить. В дальнейшем мы будем упо треблять все эти понятия, руководствуясь соображениями удобства.