1.2. Линейные пространства. Линейная зависимость и независимость векторов.

Пусть обозначает множество всех мерных векторов-строк. именно любой вектор можно умножить на любое число и результат - вектор есть снова элемент множества .Сумма двух и даже любого конечного числа векторов из снова есть элемент . Кроме того, операции умножения вектора на число и сложения векторов связаны друг с другом определенными соотношениями.

Во множестве есть уникальный вектор . Его роль вполне аналогична роли числа 0 во множестве чисел. Так, и для любого .

Вектор , удовлетворяющий неравенству , называется неотрицательным.

называют мерным числовым (или арифметическим) линейным пространством. Слово «числовое» в названии линейного пространства подчеркивает, что элементами такого пространства являются векторы, компоненты которых есть числа.

Определение: Вектор называется линейной комбинацией векторов той же размерности, если найдутся числа такие, что . Следовательно, чтобы узнать это, надо решить систему из - линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с неизвестными:

Например, узнаем, является ли векторлинейной комбинацией векторов . Получаем совсем простую СЛАУ: Ее решение: . Следовательно,

Определение: Система векторов называется линейно зависимой, если какой-то вектор системы, есть линейная комбинация остальных векторов системы, и линейно независимой в противном случае, т.е. когда никакой вектор системы не является линейной комбинацией остальных векторов системы. Система из трех вышеприведенных векторов F1, H1, H2 линейно зависима, ибо F = H1 +2 H2.

Пусть А - какая-нибудь система векторов, тогда ее подсистема E называется базисом этой системы, если Е линейно независима, и любой вектор системы А есть линейная комбинация векторов из Е.

Пусть E={E 1, …, En). Если B Î A, то B=En при некоторых линейная комбинация называется р а зложением вектора B по векторам E 1, …. En, а числа называются коэффициентами этого разложения.

Эти коэффициенты называются координатами вектора В в базисе E.

Теорема 1. Любая система векторов имеет хотя бы один базис. Число элементов в любом базисе данной системы одно и то же. Координаты любого вектора в базисе определяется однозначно.

Теорема2. В пространстве любая система векторов в количестве более является линейно зависимой.