##### 3.15. Экстремумы функций. Возрастание и убывание функций.

Теорема: Пусть функция дифференцируема на интервале . Тогда:

1) если всюду на этом интервале, то функция возрастает на нем;

2) если всюду на этом интервале, то функция убывает;

3) если всюду на этом интервале, то функция постоянна на этом интервале.

Доказательство: Возьмем на данном интервале произвольные точки и применим формулу Лагранжа для функции на отрезке : , где - некоторая точка на отрезке. Так как ,то знак разности полностью определяется знаком производной .

Если всюду положительна, то и . Отсюда , т.е. возрастает на интервале .Если всюду отрицательна, то и . Отсюда , т.е. убывает на интервале .

Наконец, если производная всюду равна нулю, то и , и следовательно, при любых , т.е. постоянна на интервале .