#### Упражнения.

3.1.Пусть вектор цен в пространстве двух товаров меняется по закону последовательности . Найдите закон изменения стоимости набора товаров . Опишите, как меняется в зависимости от цен бюджетное множество при неизменном доходе 60.

Решение. Стоимость набора меняется по закону последовательности . Крайняя правая точка бюджетного множества есть , и эта точка стремится к 30, а крайняя высшая и стремится к 15. Отсюда и ясен закон изменения бюджетного множества.

3.2.Счетны ли: а) множество всех четных целых чисел; б) множество всех чисел вида , где - целые числа; в) множество всех правильных дробей со знаменателем 3?

3.3.Убедитесь, что последовательность возрастает; последовательность убывает; последовательность не монотонна.

3.4.Выясните, какие из нижеследующих последовательностей ограниченны, а какие нет: а); б) ; в) ; г) .

3.5.Докажите, что сумма, разность и произведение двух и даже любого конечного числа ограниченных последовательностей снова есть ограниченная последовательность.

3.6.Найдите области определения и значений следующих функций: а); б); в) ; г).

Ответ. Только области определения: а); б); в) ; г).

3.7.Найдите .

3.8. Найдите предел последовательности , где .

3.9. Найти следующие пределы: а) ; б) ; в)

3.10.Доказать, что не существует.

3.11. Доказать, что в любой точке области определения: а) ; б) ; в) .

3.12. На основании свойств пределов сделайте вывод о существовании пределов: а) ; б) ; в) ; г) ; д)

3.13.На языке «» доказать непрерывность функции .

3.14.Используя правила дифференцирования, найдите производные следующих функций: а) ; б) ; в) ; г) ; д); е) .

3.15.Найти точки экстремума функций: а); б) ; в) ; г).

3.16.Найти наибольшее и наименьшее значения функций: а) на отрезке ; б) на промежутке

3.17.Найти точки перегиба и интервалы выпуклости функций: а) ; б) ; в)

3.18.Исследовать функции и построить их графики: а) ; б) ; в); г)