3.8.П p оизводная и дифференциал, предельные величины в экономике.

Рассмотрим задачу.

Задача 3.8. Потребление зависит от национального дохода следующим образом: . Требуется найти предельные склонности к потреблению и сбережению, когда национальный доход составляет 30 единиц, т.е. при у=30.

Чтобы решить эту задачу введем соответствующий математический аппарат.

Определение производной функции, ее физический смысл. Пусть дана функция . Фиксируем произвольную точку из области определения функции . Пусть - другая точка из , тогда разность называется приращением аргумента и обозначается , а разность значений функции называется приращением функции и обозначается .

Определение: Производной функции в точке называется предел отношения ее приращения в этой точке к приращению аргумента при (если этот предел существует). Производная обозначается или . Процесс нахождения производной называется дифференцированием. Итак, .

В физическом смысле отношение является средней скоростью изменения функции на отрезке , а - мгновенной скоростью изменения этой функции в точке .Например, если функция задает зависимость пути , пройденного некоторым телом, от времени , то производная является скоростью движения; если функция дает зависимость количества производимой кем-то продукции от времени, то ее производная является производительностью труда.

Определение: Функция называется дифференцируемой в точке, если ее приращение в этой точке можно представить в виде

, (1)

где - константа, а - бесконечно малая функция (б.м.ф.) при .

Теорема 1. необходимым и достаточным условием дифференцирования функции в некоторой точке является существование ее производной в этой точке.

Доказательство необходимости. Пусть функция дифференцируема в точке . Тогда , где - б.м.ф. при . Тогда . Отсюда по обратной лемме ( Если , где - константа и - б.м.ф., то ) , т.е. производная функции существует.

Доказательство достаточности: пусть существует производная функции .Согласно лемме (Если, то,где - б.м.ф.) , где - б.м.ф при или , т.е. функция дифференцируема в точке .

Теорема 2. Если функция дифференцируема в точке, то онга непрерывна в ней.

Доказательство: Если функция дифференцируема в точке , то , где - б.м.ф. при . Откуда , т.е. функция непрерывна в точке .