6.3. Классическая формула подсчета вероятности. Известно, что ТВ началась с анализа салонных игр (т.е. карточных игр типа покера, преферанса или игр типа домино и т.п.). В таких играх многие комбинации карт (или других элементов игры) равновозможны. Это достигается одинаковостью изнанок карт и требованием тщательно тасовать карты перед сдачей и т.п.

Пример 4. Рассмотрим, например, «Задачу преферансиста». Играют трое. Сдающий раздает по 10 карт каждому участнику и 2 карты оставляет в «прикупе» (всего в преферансной колоде 32 карты — нет шестерок). Какова вероятность того, что в прикупе два туза?

Решение. Задача эквивалентна более простой — берем две карты из колоды в 32 карты; какова вероятность того, что это тузы?

Посмотрим, сколько всего различных комбинаций в две карты, образованных из данных 32. Элементарные подсчеты показывают, что п = = (32 х 31)/2 = 496. А сколько из этих комбинаций состоят только из тузов? Тоже несложно подсчитать: т = (4 * 3)/2 = 6. Дробь т/п = 6/496 ~ 1/83 и есть искомая вероятность.

Именно такие подсчеты и были в начале развития ТВ. В основе их лежит следующая классическая формула.

Классическая формула для подсчета вероятностей. Пусть событие А насчитывает т(А) случаев, а всего случаев п, тогда Р(А) = т(А)/п.

Осталось пояснить, что такое случаи.

События В, С называются несовместными, если они не происхо дят вместе в одном опыте. Например, вышеуказанные события G, R несовместны.

Группа событий называется полной, если при проведении опыта всегда происходит какое-то из этих событий. Опять-таки, события G, R образуют полную группу.

Случаи — это равновозможные попарно несовместные события, образующие полную группу.

Запомнить и в каком-то смысле понять классическую формулу проще всего с помощью «вероятностного пирога». Представим пирог, разделенный на п равных секторов-случаев, а часть А пирога состоит из т(А) таких секторов- случаев, тогда ее доля есть т(А)/п.

С помощью классической формулы можно найти вероятности далеко не всех событий. Ведь классическая формула применима только лишь, если все исходы опыта можно разделить на группу случаев, причем событие, вероятностью которого интересуемся, состоит из нескольких таких случаев. Особенно тщательно надо убедиться в равновозможности случаев. Почти всегда это следствие какой-то симметрии, которой обладает опыт.

Очень важно понять, что при использовании классической формулы числа п и т(А) можно считать «с открытыми глазами» — ведь это просто числа некоторых комбинаций (карт или чего-нибудь по добного). Далее будут приведены примеры таких подсчетов.

Пример 5. Брошены сразу два игральных кубика. Найти вероятность того, что: а) сумма выпавших очков четная; б) произведение выпавших очков больше 20. Решение. Используем классическую формулу. Назовем один из куби ков белым, другой — черным. Пусть А — событие из «а», В — событие из «б». Убеждаемся, что 36 событий ек — «на белом кубике выпала цифра /, на чер ном — цифра к» являются случаями — они равновозможны и образуют полную группу. Поэтому п = 36. Событие А насчитывает 18 случаев, событие В— шесть случаев {(4, 6), (5, 5), (5, 6), (6, 4), (6, 5), (6,6)}. Следовательно, Р(А) = 18/36 = ½, Р(В) = 1/6.