4.8.Дифференциальные свойства функции полезности. Многомерная функция полезности - субъективная числовая оценка данным индивидом полезности u набора товаров. Она неубывающая, т.е. , если , и вогнутая. Кроме того, будем предполагать, что каждый товар желателен, т.е. еслии для какого-то , то .Предположим также, что функция дифференцируема и имеет необходимые производные 2-го порядка. Частная производная называется предельной полезностью го товара. Свойство неубывания функции полезности и желательности каждого товара заменим более сильным свойством положительности всех частных производных.

Вектор, составленный из частных производных функции полезности , естественно назвать вектором предельных полезностей. Напомним, что такой вектор называется также градиентом. Он показывает направление наибольшего роста значений функции.

Использование предельных соотношений для анализа экономических закономерностей, для анализа поведения субъектов экономики является сущностью «маржинализма» - течения в экономической теории, зародившегося в середине 19 в. Одним из основоположников этого течения был немец К. Госсен. Он первый сформулировал основополагающее свойство функции полезности: с увеличением потребления товара его полезность уменьшается - это и есть так называемый 1-й закон Госсена. То есть если вы голодны, то первый гамбургер съедите с большей охотой, второй уже не так понравится и т.д. на дифференциальном языке это означает, что предельные полезности убывают при возрастании аргументов - количеств потребляемых товаров, т.е. вторые частные производные должны быть отрицательны.

К функциям полезности относятся, например:

функция стоимости ;

неоклассическая функция , где ,.

Еще одна функция -, где является несколько особой и представляет интерес как крайний случай.

Объяснив теоретическую часть применения частных производных, рассмотрим решение задачи 4.1.

Решение задачи 4.1. Для решения находим частные производные ; .

## Подставляя и, находим численные значения

.

приращения независимых переменных

,

Подставляя значения в формулу изменения полезности , приближенно находим изменение полезности .