6.4.Формула полной вероятности.

Формула полной вероятности. Иногда о ситуации, в которой проводится опыт, можно высказать некоторые предположения, при которых опыт протекает уже более просто. Такого рода предположения называются также гипотезами.

Пусть рассматривается событие А, которое происходит только вместе с некоторыми гипотезами , тогда Р(А) = Р(H 1) + .... + Р(Н n)

Эта формула называется формулой полной вероятности.

Пример 1. В цехе три группы станков производят одни и те же де тали. Производительность их одинакова, но качество работы различно. Известно, что станки первой группы дают 3% брака, второй группы — 5% и третьей группы — 4%. Все произведенные в цехе детали в нерассортирован ном виде сложены на складе. Найти вероятность того, что наугад взятая оттуда деталь окажется бракованной, если станков первой группы пять, второй — четыре и третьей — три.

Решение. Возможны три предположения: H 1— деталь сделана на станках первой группы, Нг — на станках второй группы, H 3 — третьей группы. Пусть А — событие «деталь окажется бракованной», тогда по формуле полной вероятности имеем: Р(А)=P(H 1) + P(H 2) + P(H 3)

## Легко понять, что Рп А это вероятность брака для станков i-й группы, а

Р(Н1) = 5/12, Р(Н2) = 4/12, Р(Н3) = 3/12. Подставляя все это в формулу, получим: Р(А) = 47/1200 1/26.

Докажем формулу полной вероятности (см. рисунок для графической иллюстрации). То, что событие А происходит вместе с гипотезами H 1, ..., Н n, означает, что А . Но тогда и события попарно несовместны, значит, . Далее, по формуле умножения вероятностей имеем:

Р(А) =Р(Нi) для каждого . Следовательно, Р(А) = Р(H 1) + .... + Р(Н n)

### Формула Байеса.

Пусть выполнены условия, при которых выведена формула полной вероятности, т.е. Н1,Н2,…Нn – гипотезы.

Часто практически важно определить вероятности самих гипотез по событиям, которые несложно определить. Более того, требуется определить вероятность Нк, если известно, что А произошло. По теореме умножения вероятностей имеем . Отсюда . Используя формулу полной вероятности, получаем (6.4.1)

### Формула Бернулли.

Предположим, что несколько одинаковых машин в одних и тех же условиях перевозят груз. При этом любая машина может выйти из строя. Пусть вероятность выхода из строя одной машины не зависит от выхода из строя других машин. Это значит, что рассматриваются независимые события (испытания). Вероятности выхода из строя каждой из этих машин примем одинаковыми ().

Пусть в общем случае проводится независимых испытаний. Задача такова: определить вероятность того, что в испытаниях наступит событие А, если вероятность его наступления в каждом испытании равна . В нашем примере это может быть вероятность выхода из строя одной машины, двух машин и т.д.

Определим вначале вероятность того, что в первых испытаниях событие А наступит, а в остальных испытаниях не наступит. Вероятность такого события можно получить по формуле вероятности произведения независимых событий , где .

Заметим, что это лишь одна из возможных комбинаций, когда событие А произошло только в первых испытаниях. Для определения искомой вероятности нужно перебрать все возможные комбинации. Их число равно числу сочетаний из элементов А наступит в любых испытаниях, определяется по формуле - формула Бернулли.

где -

Пример. В четырех попытках разыгрываются некоторых предметы. Вероятность выигрыша в каждой попытке равна 0,5. Какова вероятность выигрыша трех предметов?

Решение: По формуле Бернулли находим

#### Рассмотрим решение задач 6.1 и 6.2.

Решение 6.1. Вероятность того, что первый выбранный холодильник будет с дефектом, находится как отношение числа благоприятствующих исходов к общему числу возможных исходов: .

Если первый холодильник оказался с дефектом, условная вероятность того, что и второй будет с дефектом, определяется на основе соотношения

.

## Искомая вероятность

Решение 6.2. Пусть -события выбора счета соответственно у первой, второй и третьей организации. Вероятности этих событий таковы: ,, .

По формуле полной вероятности определяем вероятность выбора правильно оформленного счета: .

По формуле Байеса находим искомую вероятность: