3. Характеристики выборки. Обозначим исследуемую св. через X. Пусть - выборка, — ее элементы, п — объем выборки.

Статистическая обработка выборки начинается с составления ряда вариантов:

а) элементы выборки располагают в порядке неубывания — получается ранжированный ряд ;

б) одинаковые как числа элементы выборки группируют в вари анты (таким образом, v — число вариантов выборки).

Дальнейшая обработка зависит от числа вариантов. Если оно небольшое — не более 20—25, то составляют дискретный вариационный ряд (ДВР).

ДВР составляют так:

1) подсчитываются частоты и частости , , вариантов (очевидно, что и );

2) строится таблица , которая и называется ДВР.

По ДВР можно построить многоугольник частостей — ломаную линию на плоскости, соединяющую точки с координатами .

## По ДВР определяется также эмпирическая функция распределения

(1)

Если же вариантов много, то строится интервальный вариационный ряд (ИВР):

1) назначаются нижняя граница а и верхняя граница b для вари антов так, чтобы отрезок [а, b] вместил всю выборку; часто полагают

, , но иногда а,b назначают из соображений удоб ства, но не слишком далеко от и ;

2) находится число v равных по длине интервалов группирования,
которое зависит от объема выборки и должно быть не меньше 8—10
и не больше 20—25; рассчитывается интервал группирования h=(b-a)/v;

3) устанавливается шкала интервалов , отмечаются середины этих интервалов ;

4) подсчитываются числа m 1 ,..., mv элементов выборки, попавших в каждый интервал; эти числа называются интервальными час тотами, и интервальные частости (для этой цели можно использовать ряд вариантов - если он составлен), при подсчете частот в интервал включают его левый конец и не включают правый, но в последний интервал правый конец также включают;

## 5) строится таблица

|  | …………… |

Нужно отметить, впрочем, что часто ИВР называют только последние две строчки этой таблицы, т.е.

|  |  |  | (2)

По ИВР можно построить многоугольник частостей — ломаную линию на плоскости, соединяющую точки с координатами .

По ИВР определяется также эмпирическая функция распределения

Нужно отметить, впрочем, что эмпирическую функцию распре деления определяют и по ряду (2), т.е. точно так, как (1):

Из других характеристик выборки отметим среднее значение эле ментов выборки, или просто среднее значение выборки, или выборочное среднее:

,

или, если составлен ряд вариантов и их частот,

или, если составлен ДВР,

.

Эти два последних способа дают точное значение выборочного среднего. В случае составления ИВР по нему можно найти приближенное значение выборочного среднего:

Аналогом дисперсии является выборочная дисперсия:

,

или, если составлен ряд вариантов и их частот,

или, если составлен ДВР,

В случае составления ИВР по нему можно найти приближенное значение выборочной дисперсии:

Пример 3. По результатам наблюдений: 1, 7, 7, 2, 3, 2, 5, 5, 4, 6, 3, 4, 3, 5, 6, 6, 5, 5, 4, 4 построить дискретный вариационный ряд, многоуголь ник частостей, график выборочной функции распределения. Подсчитать выборочную среднюю и выборочную дисперсию двумя способами. Приду мать правдоподобную генеральную совокупность или соответствующую случайную величину.

Решение. Объем выборки п = 20. Располагаем элементы выборки в по рядке возрастания: 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7 -получили ранжированный ряд. Теперь выделим варианты и их частоты (в скобках): 1(1), 2(2), 3(3), 4(4), 5(5), 6(3), 7(2). Видим, что вариантов немного, значит, будем строить ДВР:

1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7

Построим многоугольник частостей

(рис 1).

Найдем выборочное среднее: = (1+7 + 7 + 2 + 3 + 2 + 5 + 5 + 4 + +6+3+4+3+5+6+6+5+5+4)/20=4,15.

Другой способ — использование ДВР:

= (1×1 + 2×2 + 3×3 + 4×4 + 5×5 + 3×6 + 2×7)/20 = 4,1.

Найдем выборочную дисперсию:

.

Другой способ — использование ДВР: S 2 = (1×12 + 2× 22 + ... + 2×72)/ /20 - (4,1)2 = 4,74.

Построим график выборочной функции распределения (рис. 2).

Рассмотрим решение задачи 7.1.

Решение: Обозначим все затраты через .Пусть - число домов, которые компании удастся построить. Тогда распределение по биноминальному закону с параметрами . Прибыль зависит от по формуле .Составим теперь ряд распределения :

0 | 1 | 2 | 3 | 4

Отсюда и получаем ряд распределения :

|  |  | 0 |

Ожидаемая прибыль - это математическое ожидание с.в. . Находим ее по формуле . Кстати, можно вычислить и так: