4.11.Задача оптимизации выбора потребителя.

Эту задачу рассмотрим в качестве приложения описанного метода нахождения условного экстремума с помощью множителей Лагранжа.

Будем считать, что каждый товар имеет цену , а индивид имеет доход - какое-то количество денег, в рамках которого он и действует, покупая нужный ему набор товаров. На покупку набора товаров надо затратить денег в количестве . таким образом, индивид может купить только такой набор , при котором . Следовательно, множество наборов товаров, доступных ему при доходе , есть . Это множество называется бюджетным.

Предложение 1.Бюджетное множество ограничено и замкнуто.

Границей бюджетного множества называется множество . Граница - это отрезок в случае двух товаров, часть плоскости, ограниченная треугольником, в случае трех товаров, и в общем случае есть часть гиперплоскости в пространстве товаров.

Бюджетное множество зависит от дохода и системы цен , но от каких-либо характеристик индивида, например системы его предпочтений, не зависит.

Потребитель, имея доход, желает его потратить и, естественно, с максимальной пользой. Польза понимается в смысле системы его предпочтений или его функции полезности. Это приводит к следующей задачи.

Найти набор товаров , максимизирующий функцию полезности при выполнении бюджетного ограничения ; по смыслу задачи все переменные принимают неотрицательные значения, т.е. ,.

Рассматриваемую задачу можно сформулировать более кратко:

или даже так:

(1)

Поскольку - непрерывная функция своих аргументов, а бюджетное множество ограничено и компактно, то достигает на множестве своего максимума, т.е. решение задачи (1) существует. Очевидно, что любая точка максимума функции лежит на границе бюджетного множества.

Предложение 2. Если строго вогнута, то решение задачи (1) единственно, т.е. существует только одна точка максимума функции полезности на бюджетном множестве.

Определение: Функция называется строго вогнутой, если для любых из того, что следует, что

Итак, при строгой вогнутости функции полезности существует в бюджетном множестве единственная точка максимума функции полезности. Таким образом, у потребителя даже нет выбора в том, как с наибольшей пользой потратить свои деньги, так как существует единственный набор товаров, максимизирующий полезность. Эта единственная точка максимума называется точкой спроса или просто спросом потребителя. Будем обозначать эту точку .

Изучим точку спроса. Пока установлено только, что она должна лежать на границе бюджетного множества. Таким образом, задача (1) сводится к следующей:

или (2)

Эту задачу можно решить с помощью множителей Лагранжа. Составим функцию Лагранжа , найдем частные производные и приравняем их к нулю: