1.4. Начальные сведения о матрицах, действия с матрицами.

Задача. Швейное предприятие производит зимние пальто, демисезонные пальто и плащи. Плановый выпуск за декаду характеризуется вектором X = (10, 15, 23). Используются ткани четырех типов Т1, Т2, Т3, Т4. В таблице приведены нормы расхода ткани (в метрах) на каждое изделие. Вектор С = (40, 35, 24, 16) задает стоимость метра ткани каждого типа, а вектор P = (5, 3, 2, 2) - стоимость перевозки метра ткани каждого вида.

Изделие | Расход ткани
| Т1 | Т2 | Т3 | Т4
Зимнее пальто | 5 | 1 | 0 | 3
Демисезонное пальто | 3 | 2 | 0 | 2
Плащ | 0 | 0 | 4 | 3

1. Сколько метров ткани каждого типа потребуется для выполнения плана ?

2. Найти расходы предприятия на ткани, расходуемой на пошив всех изделий.

Для того чтобы решить эту задачу введем понятие матрицы:

Прямоугольной матрицей размера m´n называется совокупность m·n чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы, содержащей m строк и n столбцов.

Мы будем записывать матрицу в виде

A = (1)

или сокращенно в виде A = (ai j), где (i =; j = ). Числа ai j, составляющие данную матрицу, называются ее элементами; первый индекс указывает на номер строки, второй - на номер столбца. Две матрицы A = (ai j) и B = (bi j) одинакового размера называются равными, если попарно равны их элементы, стоящие на одинаковых местах, то есть A = B, если ai j = bi j.

Матрица, состоящая из одной строки или одного столбца, называется соответственно вектор-строкой или вектор-столбцом. Вектор-столбцы и вектор-строки называют просто векторами.

Матрица, состоящая из одного числа, отождествляется с этим числом. Матрица размера m´n, все элементы которой равны нулю, называются нулевой матрицей и обозначается через 0. Элементы матрицы с одинаковыми индексами называют элементами главной диагонали. Если число строк матрицы равно числу столбцов, то есть m = n, то матрицу называют квадратной порядка n. Квадратные матрицы, у которых отличны от нуля лишь элементы главной диагонали, называются диагональными матрицами и записываются так:

.

Если все элементы aii диагональной матрицы равны 1, то матрица называется единичной и обозначается буквой Е:

E = .

Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы, стоящие выше (или ниже) главной диагонали, равны нулю. Транспонированием называется такое преобразование матрицы, при котором строки и столбцы меняются местами с сохранением их номеров. Обозначается транспонирование значком Т наверху.

Пусть дана матрица (1). Переставим строки со столбцами. Получим матрицу

AT =,

которая будет транспонированной по отношению к матрице А. В частности, при транспонировании вектора-столбца получается вектор-строка и наоборот.

Произведением матрицы А на число l называется матрица, элементы которой получаются из соответствующих элементов матрицы А умножением на число l:

l A = (l ai j).

Суммой двух матриц А = (ai j) и B = (bi j) одного размера называется матрица C = (ci j) того же размера, элементы которой определяются по формуле

ci j = ai j + bi j.

Произведение АВ матрицы А на матрицу В определяется в предположении, что число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В.

Произведением двух матриц А = (ai j) и B = (bj k), где i =, j=, k=, заданных в определенном порядке АВ, называется матрица С = (c i k), элементы которой определяются по следующему правилу:

c i k = ai 1 b1 k + ai 2 b2 k +... + ai m bm k = ai s bs k. (4.2)

Иначе говоря, элементы матрицы-произведения определяются следующим образом: элемент i-й строки и k-го столбца матрицы С равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы k-го столбца матрицы В.

Пример: Найти произведение матриц А= и В = .

Решение. Имеем: матрица А размера 2´3, матрица В размера 3´3, тогда произведение АВ = С существует и элементы матрицы С равны
с11 = 1×1 +2×2 + 1×3 = 8, с21 = 3×1 + 1×2 + 0×3 = 5, с12 = 1×2 + 2×0 + 1×5 = 7,

с22 =3×2 + 1×0 + 0×5 = 6, с13 = 1×3 + 2×1 + 1×4 = 9, с23 = 3×3 + 1×1 + 0×4 = 10.

AB =, а произведение BA не существует.

Теперь опираясь на данную теорию, покажем решение задачи:

Решение. Обозначим через А матрицу, данную нам в условии задачи в начале пункта, т. е., A = ,

1) тогда для нахождения количества метров ткани, необходимой для выполнения плана, нужно вектор X умножить на матрицу А:

X· А = (10,15, 23)∙ = =
= (95, 40, 92, 129).

Стоимость ткани, расходуемой на пошив изделия каждого вида, найдем, перемножив матрицу А и вектор CT:

А CT = =.

Стоимость всей ткани, необходимой для выполнения плана, определится по формуле:

X А C T = (10 15 23)=.

Наконец, с учетом транспортных расходов вся сумма будет равна стоимости ткани, т. е. 9472 ден. ед., плюс величина

X А P T = (95, 40, 92, 129).

Итак, X А C T + X А P T = 9472 + 1037 = 10509 (ден. ед).