3.2.Последовательности.

Последовательностью называется функция , заданная на множестве натуральных чисел. В качестве примеров последовательностей могут служить арифметическая прогрессия и геометрическая прогрессия . Иногда последовательность будет обозначаться .

Последовательность называется ограниченной сверху (снизу), если найдется такое число , что для всех

Ограниченная и сверху и снизу последовательность называется ограниченной.

Например, последовательность ограниченна. В самом деле, снизу она ограничена числом 0, а сверху - числом 3; последовательность не ограничена сверху.

Последовательность называется возрастающей (неубывающей), если ; убывающей (невозрастающей), если ; монотонной, если она или неубывающая или невозрастающая.

Когда в банк делают вклад, то банк получает возможность распоряжаться (в определенных пределах) вложенной суммой. За удобства, услуги надо платить. Выплата процентной ставки и есть плата банка за возможность пользоваться деньгами вкладчика в течение года (но, вообще говоря, точные условия выплаты денег вкладчику оговариваются в договоре вклада).

Пример 1. В банк сделан вклад S тенге при процентной ставке р %. Сумма St, которая будет получена через время t при условии начисления простых процентов, выражается формулой St = S(1 + pt/100). Следовательно, зависимость накопленной суммы от времени выражается линейной функцией. Однако иногда начисление производится только по прошествии целого числа лет. В этом случае накопленная сумма является арифметической прогрессией с начальным (нулевым) членом S и разностью Sp/100.

Пример 2. Пусть начисляются сложные проценты. Тогда сумма St, которая будет получена через время , выражается формулой St = S(1+ + p/100). Следовательно, зависимость накопленной суммы от времени /выражается показательной функцией. Если начисление производится только по прошествии целого числа лет, то накопленная сумма является геометрической прогрессией с начальным (нулевым) членом S и показателем (1+ /100).

В обоих случаях S называется наращенной суммой.

С другой стороны, пусть имеется вексель на 1000 дол., выданный 2 января под 20% годовых с погашением через год. Но векселедержателю к началу сентября очень понадобились деньги и он 31 августа понес вексель в банк. Принятие векселя и выплата денег векселедержателю называется учетом векселя в банке. Теоретически банк должен был бы выплатить сумму S из расчета (1 + 0, 2)1/4 = 1000, т.е. примерно 956. Но банки немного хитрят и удерживают 5% с конечной суммы, т.е. банк выплатит 950.

Вообще задача определения эквивалента в момент t2 денежной суммы, которая в момент t1 была равна S1 называется дисконтированием, т.е. приведением к другому моменту. Если процентная ставка р % неизменна и начисляются сложные проценты, то S 2 = S 1 (1 + р/100).

Все эти рассуждения не учитывали инфляцию. Говорят, что инфляция составляет r % в год, если один и тот же набор товаров через год окажется стоящим на r % больше. Иначе говоря, реальное содержание денежной суммы уменьшается через год в (1 + г/100) раз, а через п лет в (1 + г/100)n раз. В нормальной экономике процентная ставка больше, чем темп инфляции.

Пусть норма процента — р% в год, а инфляция — r-% в год. Тогда через год сумма S возрастет на р % из-за наращения по норме процента, но эта же сумма будет обладать в (1+ г/100) раз меньшей покупательной способностью, следовательно, ее реальное денежное содержание будет равно: S(1 + р/100)/(1 + г/100) = S(100 + p)/(100 + г). Отсюда следует простой вывод — реальное содержание денежной суммы:

возрастает, если р > r,

неизменно, если р = r,

уменьшается, если р < r.

Найдем рыночную стоимость бессрочной облигации. Гашение такой облигации не предусмотрено, но каждый год владелец получает так называемый купонный доход. Если облигация номинала 1000 дол. имеет 3%-ный купон, значит, каждый год она приносит владельцу 30 дол. Предположим, что темп инфляции 2%. Рыночная цена облигации будет равна дисконтированию ряда будущих ежегодных платежей в 30 дол. по ставке 2%, т.е. сумме геометрической прогрессии с первым членом 30 и знаменателем 1/(1 + 2/100) (облигация продается сразу же после получения очередного купонного дохода). Получаем окончательно: 1530. Это и есть рыночная цена облигации.

Конечно, эта цена является лишь весьма ориентировочной. В конкретной ситуации покупатели и продавцы принимают во внимание множество факторов, начиная от сугубо индивидуальных и кончая стабильностью государственных институтов.

При установлении рыночной цены акции также принимают во внимание будущие дивиденды (часто — теоретически бесконечный ряд платежей), которые каким-то образом пытаются дисконтировать к данному моменту.

Определение рыночной цены облигации, акции таким образом имеет, в общем, чисто теоретическое значение. На практике поступают по-другому, а именно: пусть ставка процента , годовой купон облигации q, номинал облигации А, ее рыночная цена I, тогда приравнивают два дохода qA = pI и находят отсюда рыночную цену: I = qA/p.

#### Предел последовательности.

Определение: Число А называется пределом последовательности , если для всякого найдется такое , что для любого п > К. Обозначение: А = .

Например, предел последовательности есть 0. Действи тельно, фиксируем произвольное . Пусть таково, что . Как легко видеть, | — 0| < е для любого п > К.

Сумма геометрической прогрессии есть часто встречающийся пример суммы бесконечного ряда чисел. Пусть — какая-нибудь последовательность чисел. Рассмотрим последовательность начальных сумм Sn = а1 +... + ап. Если эта последовательность имеет предел, то этот предел называется суммой ряда а1 + а2 +.... Если же предел не существует, то говорят, что ряд расходится (если предел или , то иногда говорят, что ряд расходится к бесконечности).

Например, сумма ряда 0 + ½ + ¼ + 1/8 +.... равна единице. Действительно, сумма Sn первых п членов ряда равна 1- . Следовательно, Sn=1, a это и есть, по определению, сумма рассма триваемого ряда.

Во многих важных случаях существование предела последовательности можно установить с помощью следующей теоремы.

Теорема 1. Пусть последовательность (хп) монотонно не убывает (или не возрастает). Если при этом она ограничена сверху (снизу), то она имеет конечный предел; в противном случае она стремится к ().