2.3.Бюджетное множество.

Рассмотрим мерное пространство товаров С. Пусть вектор цен , тогда стоимость набора товаров есть . Будем писать ~, если наборы , стоят одинаково. Это отношение равной стоимости есть отношение эквивалентности на пространстве товаров, т.е. оно:

а) симметрично: если ~, то и ~;

б) транзитивно: если ~и ~, то ~;

в) рефлексивно: ~ для любого набора .

Рассмотрим пространство двух товаров. Легко видеть, что наборы товаров одной и той же стоимости образуют часть прямой линии с уравнением , расположенной в 1-м квадранте. Это прямая перпендикулярна вектору цен.

Если , то прямая с уравнением параллельна прямой и лежит ближе к началу координат.

Пусть фиксирована какая-то денежная сумма - она еще называется доходом. Множество всех наборов товаров стоимостью не более называется бюджетным множеством и обозначается .

Бюджетное множество можно определить с помощью обычных или векторных неравенств так: или (пространство товаров состоит из неотрицательных наборов-векторов).

Если пространство товаров двумерно или трехмерно, то бюджетное множество можно изобразить наглядно. На рисунке изображены бюджетные множества при различных ценах и доходах .

Видно, что граница бюджетного множества перпендикулярна вектору цен и представляет собой отрезок между осями координат в 1-м квадранте.

В трехмерном случае бюджетное множество будет трехгранной пирамидой, а граница - одной из граней этой пирамиды, частью плоскости, зажатой в 1-м октанте.

Бюджетное множество зависит от цен и дохода . при увеличении дохода его граница параллельна отодвигается дальше от начала координат, при уменьшении цен оно также увеличивается - точка пересечения его границы с осями координат отодвигаются от начала координат.

Пример 1. Рассмотрим пространство двух товаров. Назовем набор товаров сбалансированным, если 2-го товара ровно в два раза больше, чем 1-го. Если набор не сбалансирован, то излишек какого-нибудь товара сверх указанной пропорции не представляет никакой ценности и ценность (полезность) такого несбалансированного набора равна ценности (полезности) соответствующего сбалансированного набора. Убедитесь в том, что получившиеся отношение есть отношение эквивалентности. Нарисуйте несколько классов этой эквивалентности.

Решение: Проверяем выполнение всех трех свойств - рефлексивности, симметричности и транзитивности. Класс эквивалентности - это такое максимальное множество, в котором любые два элемента эквивалентны.