3.13. Формула Уилсона.

Рассмотрим работу идеального склада. Такой склад отпускает своим клиентам запасенный товар (сырье, полуфабрикаты и т.п.) равномерно, с постоянной скоростью ед. товара за единицу времени. Издержки хранения единицы запасов в течение единицы времени обозначим . Склад работает циклами длительностью (см. рис.).

В начале цикла на склад привозят запасы объемом . При этом склад несет так называемые накладные расходы , не зависящие от объема . По мере уменьшения запасов, в нужный момент, начинается организация новой поставки запасов на склад. Очередная партия запасов прибывает в момент полного исчерпания запасов. Но считается, что разгрузка этой партии происходит практически мгновенно.

Задача состоит в минимизации средних расходов склада за единицу времени. При объеме партии поставки длительность цикла равна , значит, средние за единицу времени накладные расходы равны . Учтем, что средняя величина запаса на складе равна , следовательно, средние издержки хранения за единицу времени равны . Таким образом, суммарные средние издержки за единицу времени равны . Для нахождения минимума найдем производную по .и приравняем ее нулю: , откуда . при этом значении 2-я производная , так что это действительно минимум. Формула называется формулой Уилсона. Минимальные издержки равны .

Критерий оптимальности объема партии. Размер партии оптимален (с точки зрения минимизации средних издержек за единицу времени) тогда и только тогда, когда за цикл накладные расходы равны издержкам хранения.

Действительно, при оптимальном размере партии накладные расходы за цикл равны , а издержки хранения за цикл равны . И наоборот, равенство обоих видов издержек дает , откуда , что и требовалось доказать.

Пример. На склад цемент привозят в барже по 1500т. Накладные расходы равны 2000 дол. Издержки хранения оцениваются в 10 центов с тонны за сутки. Каждые сутки склад отпускает 50т. цемента. Найти издержки хранения за цикл. Каков оптимальный объем партии поставки.

Решение. Средний объем хранящегося на складе цемента равен 750т. Следовательно, средние издержки хранения за сутки равны 75 дол. Цикл имеет длительность 30 дней. Значит, издержки хранения за цикл равны 2250 дол. Оптимальный объем партии поставки рассчитаем по формуле Уилсона: т.